Mnożenie macierzy, macierz odwrotna, rząd macierzy
Jeżeli A = [aij] jest m×n macierzą, a B = [bij] jest n×p macierzą to iloczyn AB = C =[cij] jest m×p macierzą,
zdefiniowaną następująco: cij =
n
∑ aik bkj
k =1
Załóżmy, że macierz A jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera.
Macierzą odwrotną do macierzy A (ozn. A-1) stopnia n nazywamy taką macierz kwadratową stopnia n, że
AA-1 = A-1A = In (In - macierz jednostkowa stopnia n). Macierze dla których istnieje macierz odwrotna
nazywamy odwracalnymi.
Macierz odwrotną do macierzy A = [aij] można obliczyć następującą metodą:
1. Liczymy detA. Aby istniała macierz odwrotna wyznacznik ten musi być różny od zera.
2. Obliczamy tzw. macierz kofaktorową, zdefiniowaną następująco:
cofA = C = [ ( -1 )i+j det Ai,j ]
3. Macierz odwrotna jest dana wzorem A-1 = ( detA )-1 CT
Metoda ta jest dobra dla macierzy co najwyżej trzeciego stopnia. Dla macierzy wyższych stopni jest zbyt
rachunkowa. Możemy wtedy znaleźć macierz odwrotną do macierzy A stopnia n w następujący sposób:
Dopisujemy do macierzy A macierz jednostkową tego samego stopnia. Tworzymy więc macierz o n wierszach i
2n kolumnach. Następnie na wierszach tej powiększonej macierzy dokonujemy operacji następującego typu:
. I.
do dowolnego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez liczbę
. II. dowolny wiersz można pomnożyć przez liczbę różną od zera
. III. można przestawiać wiersze
Celem powyższych operacji jest otrzymanie po lewej stronie tej powiększonej macierzy - macierzy jednostkowej.
Macierz po prawej stronie będzie wtedy macierzą odwrotną.
Minorem macierzy A = [ aij ] 1 ≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n nazywamy każdy wyznacznik macierzy kwadratowej
powstałej z macierzy A przez skreślenie z niej pewnej ilości wierszy i kolumn.
Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką liczbę r, że wszystkie minory macierzy A stopnia większego
niż r (jeżeli istnieją) są równe zeru i istnieje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera.
Rząd macierzy nie ulegnie zmianie jeśli na wierszach (lub kolumnach) wykonamy operacje I - III
1) Znaleźć iloczyny macierzy:
1 0 1 2
2 −2 4
a)
⋅ 2 −1 1 3
1 −1 2
4 1 0 −3
2) Znaleźć macierze odwrotne do danych
1
2
1 2
3 2 6
2 1 − 2 b) 1 1 2 c) 0
a)
2
2 − 2 1
2 2 5
3
3
3
5 ⋅ 213 510 128 ⋅ −1 ⋅ 1 −2 1
b) [
] [
]
−1
7
2
1
1
0
3
2
0
1
3) Znaleźć macierz X spełniającą równanie:
2 7 3
3 4 − 1
3 9 4 X = 1 3 5
a)
1 5 3
− 2 1 4
1 1
4
0 1
3
d) 0 0
0
0 0
1
0 0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1 1 1 1
1 1 −1 −1
e)
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
2 2 3 4 − 2 0
b) X 1 −1 0 = 0 − 1 2
−1 2 1 9 1 − 3
4) Znaleźć rzędy następujących macierzy:
1
2
a)
0
3
1
2 3 −1
0 1 −3
3 5 −3
1 1
5 − 1
1 3
2 − 1 − 3 4
b)
5 1 − 1 7
9
1
7 7
3 − 1 3
5 − 3 2
c)
1 − 3 − 5
7 − 5 1
2 5
3 4
0 − 7
4 1
4
8
d) 4
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)