Listy zadań z matematyki dla zootechniki

Nasza ocena:

5
Pobrań: 105
Wyświetleń: 2191
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Listy zadań z matematyki dla zootechniki - strona 1 Listy zadań z matematyki dla zootechniki - strona 2 Listy zadań z matematyki dla zootechniki - strona 3

Fragment notatki:


´ ˙ ´ 1. Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji  f  ( x ) =  x 3, oraz prostymi:  x  = 1 oraz  y  = 0 . Wskazówka. Wyra´z pole jako granic˛e odpowiedniego ci ˛ agu, a nast˛epnie skorzystaj ze wzoru: 1 3 + 23 +  . . .  +  n 3 = n 2( n  + 1)2 4 . 2. Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji  f  ( x ) =  x 4, oraz prostymi:  x  = 1 oraz  y  = 0 . Wskazówka. Wyra´z pole jako granic˛e odpowiedniego ci ˛ agu, a nast˛epnie skorzystaj ze wzoru: 1 4 + 24 +  . . .  +  n 4 = 6  n 5 + 15  n 4 + 10  n 3  − n 30 . Czy wyniki otrzymane w zadaniach 1 i 2 sugeruj ˛ a wzór wyra˙zaj ˛ acy pole trapezu krzywoliniowego ogra- niczonego przez wykres funkcji  y  =  x m , gdzie  m  jest dowoln ˛ a liczb ˛ a naturaln ˛ a? Zbiór liczb naturalnych, oznaczany symbolem N, składa si˛e z liczb 1 ,  2 ,  3 , . . . 3. Korzystaj ˛ ac z twierdze´n o arytmetyce granic ci ˛ agów obliczy´c podane granice ci ˛ agów: (a) lim n→∞ n− 1 n +4 ; (b) lim n→∞ n 3+2 n 2+1 n− 3 n 3 . 4. Obliczy´c, jak ˛ a warto´s´c liczbow ˛ a przedstawia ułamek okresowy 0 , (12) ...  = 0 , 121212  . . . 5. Obliczy´c, jak ˛ a warto´s´c liczbow ˛ a przedstawia ułamek okresowy 0 , 5(23) ...  = 0 , 5232323  . . . 6. Obliczy´c ∞ n =1 1 ( n  + 1)( n  + 2) . 7. Pan X umieszcza w banku B 1 złoty na lokacie. Oprocentowanie w skali rocznej wynosi 100%. Je˙zeli odsetki byłyby doliczane po upływie roku, kwota któr ˛ a pan X otrzymałby po zako´nczeniu rocznego okresu lokaty wynosiłaby 2 złote. Je´sli odsetki byłyby doliczane po upływie pół roku, pan X po upływie roku otrzymałby (1 + 1 2 ) 2 złotego. Obliczy´c kwot˛e, któr ˛ a pan X otrzymałby po upływie roku w przypadku kapitalizacji: (a) kwartalnej (po upływie ka˙zdego kwartału kwota na lokacie zostaje powi˛ekszona o 25%); (b) miesi˛ecznej (po upływie ka˙zdego miesi ˛ aca kwota na lokacie zostaje powi˛ekszona o 1 / 12); (c) dziennej (po upływie ka˙zdego dnia kwota na lokacie zostaje powi˛ekszona o 1 / 365 — zakładamy, ˙ze rok, w którym kwota jest wpłacana oraz rok po nim nast˛epuj ˛ acy, nie s ˛ a latami przest˛epnymi). Oznaczmy przez  en  kwot˛e, jak ˛ a otrzymałby pan X w przypadku, gdy sposób kapitalizacji odpowiadałby podziałowi roku na  n  równych przedziałów czasowych:  en  = (1 + 1 n  ) n . (d) Czy istnieje  n  takie, ˙ze  en   3? 1 Rok Bezpiecze´nstwa ˙ Zywno´sci/Biologii/Bioinformatyki/Zootechniki Matematyka — lista 3; 12.10.2012

(…)

…´
˛
15. Znajd´ funkcje odwrotne do podanych:
z
(a) f (x) = 1 + x3 ;
(b) g(x) = 2x ;
(c) h(x) = 3x + 1.
˙
1 Rok Bezpiecze´ stwa Zywno´ci/Biologii/Bioinformatyki/Zootechniki
n
s
Matematyka — lista 4; 7.11.2012
1. Znajd´ asymptot˛ pozioma w −∞ funkcji f (x) = ex + 3.
z
e
˛
˙
2. Liczebno´c populacji pewnych gatunków zwierzat mozna opisa´ za pomoca funkcji logistycznej okres´
˛
c
˛
´
slonej wzorem:
a
f (t…
…, ze funkcja wielomianowa jest ciagła na przedziale (−∞, ∞).
c
˛
˙
3. Wyznacz stałe a i b takie, ze funkcja f dana wzorem

2x − 1,


x < −2,
f (x) = ax + b, −2 x

 3
x + 1, x > 0.
0,
jest ciagła na przedziale (−∞, ∞). Naszkicuj wykres funkcji f .
˛
˙
˙
Uwaga W zadaniu nalezy skorzysta´ z faktu, ze funkcje wykładnicza oraz wielomianowa sa ciagłe na
c
˛ ˛
przedziale (−∞, ∞).
˙
4. (Zadanie o podwyzszonym…
…. W jaki sposób mozna „otrzyma´ ” wykres funkcji f (x) = log10 x z wykresu funkcji g(x) = log2 x?
c
˙ na skorzysta´ z równo´ci loga x = logb x/ logb a zachodzacej dla x > 0 oraz a, b dodatWskazówka Moz
c
s
˛
˙
nich i róznych od 1.
˙
˙
9. Uzasadnij, ze złozenie g(f (x)) funkcji logarytmicznej z = g(y) = logb y i funkcji wykładniczej y =
x
f (x) = a jest funkcja liniowa (tj. h(x) = cx + d, gdzie c, d ∈ R).
˛
˛
˙
10…
…˛ logarytmiczna okre´lamy wzorem f (x) = loga x, gdzie 1 = a > 0.
e
˛
s
(a) Wyznacz dziedzin˛ naturalna funkcji f .
e
˛
(b) Dla jakich warto´ci podstawy a funkcja f jest rosnaca? Dla jakich malejaca?
s
˛
˛
˙ s´ ˛
(c) Jaka zalezno´c łaczy loga x, loga y i loga xy, gdzie 0 < a = 1 oraz x i y sa dowolnymi liczbami
˛
rzeczywistymi dodatnimi?
7. Podaj definicj˛ i funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus. Czy istnieje przedział, na którym zarówno
e
sinus jak i cosinus sa funkcjami malejacymi?
˛
˛
˙
˙
Uwaga. W literaturze mozna spotka´ kilka róznych definicji funkcji trygonometrycznych, por.
c
http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne
˙ n
Dla naszych rozwaza´ najbardziej przydatna b˛ dzie definicja, w której odwołujemy si˛ do poj˛ cia okr˛ gu
e
e
e
e
jednostkowego („definicja na okr˛ gu jednostkowym…
… z prawdopodobie´ stwem 0,8.
˛
n
˙
Oblicz prawdopodobie´ stwo zdarzenia polegajacego na tym, ze rzucajac 5 razy:
n
˛
˛
(a) trafi do kosza dokładnie 4 razy;
(b) trafi do kosza co najmniej 3 razy;
(c) nie trafi do kosza ani razu.
˙
˙˛
Zakładamy, ze wyniki kolejnych rzutów nie zaleza od siebie — wi˛ c liczba trafie´ uzyskanych w pi˛ ciu rzutach
e
n
e
ma rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.

... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz