Indukcja zupełna - omówienie

Zestaw zada ń  z analizy matematycznej dla  IM  2. Indukcja zupełna, funkcje    1. Indukcja zupełna   1.1 Wykazać, że dla każdego  ݊ ∈ ℕ liczba  n n  − 3  jest podzielna przez 3.  1.2 Udowodnić, że dla każdego  ݊ ∈ ℕ prawdziwe są wzory:  a)  ( ) 2 1 1 + = ∑ = n n k n k ;  b)  ( )( ) 6 1 2 1 1 2 + + = ∑ = n n n k n k ;  c)  2 1 1 3       = ∑ ∑ = = n k n k k k ;  d)  ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 + − = − ∑ = n n n k k n k .   2. Funkcje – własno ś ci podstawowe  2.1 Proszę narysować wykres i omówić własności następujących funkcji elementarnych  (prawidłowo określić dziedzinę funkcji):  a)  ( )  const x f = ;  b)  ( ) n x x f =  dla   ሺ݊ ∈ ℕሻ;  c)  ( ) n x x f − =  dla ሺ ݊ ∈ ℕሻ;  d)  ( ) q x x f =  dla   ሺݍ ∈ ℚሻ;  e)  ( ) ( ) x x f sin = ;  f)  ( ) ( ) x x f cos = ;  g)  ( ) ( ) x x f tg = ;  h)  ( ) ( ) x x f ctg = ;  i)  ( ) ( ) ( ) 1 0 dla log ≠ ∧ = a a x x f a ;  j)  ( ) ( ) 0 dla = a a x f x . 2.2 Proszę narysować wykres i omówić własności następujących funkcji (prawidłowo określić  dziedzinę funkcji): a)  ( ) x x f = ;  b)  ( ) [ ] x x f = ;  c)  ( ) [ ] x x f − = ;    d)  ( ) [ ] [ ] x x x f − + = ;  e)  ( ) x x f = ;  f)  ( ) x x f ln = . 2.3 Proszę omówić własności funkcji  ( ) x g  w stosunku do własności funkcji  ( ) x f :  a)  ( ) ( ), x f a x g + =   ܽ ∈ ℝ;  b)  ( ) ( ), a x f x g + =   ܽ ∈ ℝ;  c)  ( ) ( ) x f x g − = ;  d)  ( ) ( ) x f x g − = ;  e)  ( ) ( ) x f x g − − = . 3. Funkcje ograniczone  Zbadać, czy podane funkcje są ograniczone na podanych zbiorach:  a)  ( ) ] 3 , 1 ( , 1 x x f = ;  b)  ( ) ( ) 1 , 0 , log 2  x x g = ;    c)  ( ) , 1 1 2 2 + − = x x x h   ℝ;  d)  ( ) ) , 0 [ , 1 1 2 ∞ + − = x x x k . 4. Zło ż enia funkcji  4.1 Określić funkcje złożone  f f ,  g f ,  f g ,  g g  oraz ich dziedziny, jeśli:  a)  ( ) ( ) x x g x x f = = ,

(…)

… ) = x ;
b) f (x ) = 2 x , g (x ) = cos x ;
c) f ( x ) = x 3 , g ( x ) =
3
1
;
x
d) f ( x ) =
x
1
, g (x ) = .
2
1+ x
x
4.2 Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g f , jeżeli:
a) h ( x ) =
2− x
2+ x
;
(
)
c) h ( x ) = log x 2 + 1 ;
d) h (x ) = x + 2 .
b) h (x ) = sin x ;
2
5. Funkcje odwrotne
Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:
a) f (x ) = x 7 + 5, ‫ ∈ ݔ‬ℝ;
b) f (x ) = x 2 − 2 x, x ∈ [1, ∞ ) ;
c) f (x…
... zobacz całą notatkę