To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw zada ń z analizy matematycznej dla IM 2. Indukcja zupełna, funkcje 1. Indukcja zupełna 1.1 Wykazać, że dla każdego ݊ ∈ ℕ liczba n n − 3 jest podzielna przez 3. 1.2 Udowodnić, że dla każdego ݊ ∈ ℕ prawdziwe są wzory: a) ( ) 2 1 1 + = ∑ = n n k n k ; b) ( )( ) 6 1 2 1 1 2 + + = ∑ = n n n k n k ; c) 2 1 1 3 = ∑ ∑ = = n k n k k k ; d) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 + − = − ∑ = n n n k k n k . 2. Funkcje – własno ś ci podstawowe 2.1 Proszę narysować wykres i omówić własności następujących funkcji elementarnych (prawidłowo określić dziedzinę funkcji): a) ( ) const x f = ; b) ( ) n x x f = dla ሺ݊ ∈ ℕሻ; c) ( ) n x x f − = dla ሺ ݊ ∈ ℕሻ; d) ( ) q x x f = dla ሺݍ ∈ ℚሻ; e) ( ) ( ) x x f sin = ; f) ( ) ( ) x x f cos = ; g) ( ) ( ) x x f tg = ; h) ( ) ( ) x x f ctg = ; i) ( ) ( ) ( ) 1 0 dla log ≠ ∧ = a a x x f a ; j) ( ) ( ) 0 dla = a a x f x . 2.2 Proszę narysować wykres i omówić własności następujących funkcji (prawidłowo określić dziedzinę funkcji): a) ( ) x x f = ; b) ( ) [ ] x x f = ; c) ( ) [ ] x x f − = ; d) ( ) [ ] [ ] x x x f − + = ; e) ( ) x x f = ; f) ( ) x x f ln = . 2.3 Proszę omówić własności funkcji ( ) x g w stosunku do własności funkcji ( ) x f : a) ( ) ( ), x f a x g + = ܽ ∈ ℝ; b) ( ) ( ), a x f x g + = ܽ ∈ ℝ; c) ( ) ( ) x f x g − = ; d) ( ) ( ) x f x g − = ; e) ( ) ( ) x f x g − − = . 3. Funkcje ograniczone Zbadać, czy podane funkcje są ograniczone na podanych zbiorach: a) ( ) ] 3 , 1 ( , 1 x x f = ; b) ( ) ( ) 1 , 0 , log 2 x x g = ; c) ( ) , 1 1 2 2 + − = x x x h ℝ; d) ( ) ) , 0 [ , 1 1 2 ∞ + − = x x x k . 4. Zło ż enia funkcji 4.1 Określić funkcje złożone f f , g f , f g , g g oraz ich dziedziny, jeśli: a) ( ) ( ) x x g x x f = = ,
(…)
… ) = x ;
b) f (x ) = 2 x , g (x ) = cos x ;
c) f ( x ) = x 3 , g ( x ) =
3
1
;
x
d) f ( x ) =
x
1
, g (x ) = .
2
1+ x
x
4.2 Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g f , jeżeli:
a) h ( x ) =
2− x
2+ x
;
(
)
c) h ( x ) = log x 2 + 1 ;
d) h (x ) = x + 2 .
b) h (x ) = sin x ;
2
5. Funkcje odwrotne
Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:
a) f (x ) = x 7 + 5, ∈ ݔℝ;
b) f (x ) = x 2 − 2 x, x ∈ [1, ∞ ) ;
c) f (x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)