To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Tw. o kwadracie iloczynu dwóch krakowianów
Dowód tego twierdzenia polega na uzasadnieniu związku:
(a⋅b)^2=a(τb)^2a (1)
Przekształcimy lewą stronę powyższej równości otrzymując kolejno:
(a⋅b)^2=(a⋅b) (a⋅b)=a⋅b (a⋅b) (2)
Gdyż dowolną liczbę kolejnych początkowych czynników można zawsze rozłączyć tj. usunąć nawiasy). Stosując do ostatniego iloczynu twierdzenie dysocjatywne, będziemy mieli:
a⋅b (a⋅b)=a⋅b τba (3)
a po połączeniu dwóch środkowych czynników a⋅b τba=a(τbτb)a=a(τb)^2a (4)
czyli (a⋅b)^2= a(τb)^2a (5).
Tw. o odwrotności iloczynu dwóch krakowianów
Mamy udowodnić ze:
(ab)^-1=a^-1b^-1 (6)
Jeśli powyższy wzór jest prawidłowy, to wobec (ab)^-1(ab)=τ (7)
musi być także (a^-1b^-1)(ab)=τ (8)
I zadanie sprowadza się do wykazania, że tak jest istotnie. Przekształcenie lewej strony formuły (8) daje kolejno:
(a^-1b^-1)(ab)=a^-1b^-1(ab)= a^-1b^-1 τba= a^-1(τbτ(b^1))a= a^-1(τb(τb)^1)a=a^-1τa=a^-1a=τ
Wykorzystaliśmy tu fakt, że transpoza odwrotności krakowianu jest równa odwrotności jego transpoza, oraz że iloczyn krakowianu a przez krakowian τ jest równy a.
Dowód równoważności układu symetrycznego i układu pierwiastka
Niech będzie dany symetryczny układ równań liniowych:
x∙τa+l=0 (1)
czyli układ o symetrycznym krakowianie współczynnikowym a spełniającym warunek
a=τa (2)
co pozwala układ (1) zapisać w postaci
xa+l=0 (3)
załóżmy, że krakowian a ma pierwiastek r, czyli
a=r∙r=r^2 (4)
Znajdziemy układ równań o trójkątnej tabeli współczynnikowej r (pierwiastek)
x∙τr+λ=0 (5)
który byłby równoważny układowi danemu (3).
Zadanie sprowadza się do uzyskania wzoru na obliczenie krakowianu λ wyrazów wolnych układu trójkątnego (5). Aby go uzyskać pomnóżmy układ (5) stronami przez r. Otrzymamy:
x∙τr∙r+λr=0
a po asocjacji
xr^2+λr=0 (6)
Układ (6) jest równoważny układowi (5) na mocy twierdzenia o układach równoważnych. Aby układ (6) był równoważny układowi (3) muszą zachodzić związki
a=r^2 (7)
λr=l (8)
Pierwszy z nich założyliśmy, a jak widać, z założenia tego wynika, że kolumna λ wyrazów wolnych przy pierwiastku musi być takim krakowianem, który pomnożony przez r daje kolumnę wyrazów wolnych układu symetrycznego. Wtedy z uwagi na równoważność układów (3) i (6) oraz (6) i (5) są także równoważne układy (3) i (5).
(…)
…) daje kolejno:
(a^-1b^-1)(ab)=a^-1b^-1(ab)= a^-1b^-1 τba= a^-1(τbτ(b^1))a= a^-1(τb(τb)^1)a=a^-1τa=a^-1a=τ
Wykorzystaliśmy tu fakt, że transpoza odwrotności krakowianu jest równa odwrotności jego transpoza, oraz że iloczyn krakowianu a przez krakowian τ jest równy a.
Dowód równoważności układu symetrycznego i układu pierwiastka
Niech będzie dany symetryczny układ równań liniowych:
x∙τa+l=0 (1…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)