1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, to można określić współrzędne wektora a jako miary rzutów ax , ay tego wektora na osie Ox i Oy . Oznaczamy −→ AB = a = [ ax, ay ]. Jeżeli A = ( x 1 , y 1), B = ( x 2 , y 2), to ax = x 2 − x 1, ay = y 2 − y 1. Zauważmy, że gdy i , j oznaczają wektory jednostkowe na osiach, to a = axi + ayj. Długość wektora wynosi |a| = a 2 x + a 2 y = ( x 2 − x 1)2 + ( y 2 − y 1)2 . Wektory o długości 1 nazywamy wersorami. Natomiast kątem między wektorami leżącymi na półprostych l 1 i l 2 nazywamy ten z dwóch kątów utworzonych przez te półproste, którego miara spełnia nierówność 0 ϕ π/ 2. Iloczyn skalarny wektorów a i b określamy jako a ◦ b = |a||b| cos ϕ. Bezpośrednio z tej definicji mamy, że i ◦ i = j ◦ j = 1 oraz i ◦ j = 0. Stąd otrzymujemy a ◦ b = axbx + ayby. Zatem |a||b| cos ϕ = axbx + ayby , więc cos ϕ = |axbx + ayby| |a| · |b| (wartość bezwzględna dlatego, żeby kąt spełniał warunek 0 ϕ π/ 2). Przykład Dane są punkty A = (1 , 1), B = (3 , 3), C = (5 , 1). Obliczyć współrzędne wektorów −→ AB , − − → BC , −→ CA , ich długości, i kąty między nimi. 1.2 Wektory w przestrzeni Wszystkie pojęcia nie wymagające układu współrzędnych definiuje się tak jak na płasz- czyźnie. Niech Oxyz będzie prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni, a i , j k ozna- czają wektory jednostkowe na osiach. Wektor −→ AB o początku A = ( x 1 , y 1 , z 1) i końcu B = ( x 2 , y 2 , z 2), ma współrzędne ax = x 2 − x 1, ay = y 2 − y 1, az = z 2 − z 1. Piszemy: −→ AB = [ x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1] . 1 Długość wektora wynosi |a| = a 2 x + a 2 y + a 2 z = ( x 2 − x 1)2 + ( y 2 − y 1)2 + ( z 2 − z 1)2 . Jeżeli przez α , β , γ oznaczymy kąty, jakie wektor a = [ ax, ay, az ] tworzy z osiami układu, to cos α = ax |a| , cos β = ay |a| , cos γ = az |a| . Stąd cos 2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 . Zatem wektor l = [cos α, cos β, cos γ ] jest wersorem. Ponadto a = |a| · l . Liczby cos α , cos β , cos γ nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a . Kosinusy kie- runkowe wektora
(…)
… , y − y0 , z − z0 ], k = [a, b, c] otrzymujemy
[x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = [ta, tb, tc]
Porównując współrzędne otrzymujemy równości charakteryzujące prostą:
l:
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
gdzie t ∈ R.
(5)
Równania (5) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej.
Przykład . Równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (2, −3, 5)
i równoległej do wektora k = [1, −5, 2] mają postać:
x
= 2+t
l : y = −3 − 5t
z = 5 + 2t
5
gdzie t ∈ R.
Jeżeli zamiast wektora znany jest drugi punkt prostej P1 = (x1 , y1 , z1 ), to wektorem
−→
−
kierunkowym jest P0 P1 = [x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ].
Przykład . Napisać równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P0 =
(4, −2, −6), P1 = (2, −2, 3).
Wektorem kierunkowym jest tutaj P0 P1 = [−2, 0, 9], zatem…
… przechodzącej przez P i prostopadłej
do π (wektor kierunkowy to [A, B, C]) i wyliczyć punkt przecięcia prostej z płaszczyzną.
Przykład . Znaleźć rzut punktu P = (1, 2, 4) na płaszczyznę x − 3y + 4z − 3 = 0.
Rozwiązanie. Prosta prostopadła do płaszczyzny (i przechodząca przez P ) ma równanie
kierunkowe
y−2
z−4
x−1
=
=
.
1
−3
4
Do rachunków jednak wygodniejsze są równania parametryczne:
x = 1 + t, y = 2 − 3t…
…) i (a, 0). Te punkty nazywamy wierzchołkami hiperboli. Ale dla x = 0
2
otrzymujemy równanie sprzeczne − y2 = 1. Zatem współczynnik b nie ma interpretacji
b
geometrycznej.
Liczby 2a i 2b nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osią urojoną hiperboli. Natomiast 2c nazywamy ogniskową hiperboli.
Definicja 7 Liczbę e = c/a nazywamy mimośrodem hiperboli.
Ponieważ teraz 0 < a < c, więc e > 1.
Definicja 8 Hiperbolę…
… w równaniu (10) i podstawiając c = a2 + b2 − r2 otrzymamy
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0.
(11)
Przykład Wyznaczyć środek i promień okręgu x2 + y 2 − 12x + 4y + 7 = 0.
Rozwiązanie. Z równania mamy a = 6, b = −2, c = 7. Stąd r2 = 62 − (−2)2 − 7 = 25.
Zatem S = (6, −2), r = 5.
Oprócz równań (10) i (11) można okrąg przedstawić przy pomocy równań parametrycznych:
x = a + r cos t, y = r sin t, t ∈ [0, 2π).
6.2…
…, gdy znany jest jeden jej punkt P0 =
(x0 , y0 , z0 ) i wektor n = [A, B, C] prostopadły do płaszczyzny. Wtedy, jeżeli P = (x, y, z)
−→
−
jest dowolnym punktem płaszczyzny, to wektor P0 P leży w tej płaszczyźnie, a więc jest
prostopadły do wektora n i z warunku prostopadłości otrzymujemy
−→
−
P0 P ◦ n = 0.
(2)
−→
−
Ponieważ P0 P = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ], to po obliczeniu iloczynu skalarnego mamy
równość…
…
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
nazywamy hiperbolą sprzężoną z hiperbolą (15).
−
(16)
Wierzchołki i ogniska hiperboli (16) leżą na osi Oy.
Można dość łatwo wykazać następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2 Proste
b
y=± x
a
(17)
są asymptotami hiperboli (15) i (16).
Przykład Dana jest hiperbola x2 −y 2 = 8. Napisać równanie hiperboli współogniskowej
przechodzącej przez punkt A(−5, 3).
2
2
Odp. x − y6 = 1.
10…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)