Geometria analityczna - wykład

Nasza ocena:

3
Pobrań: 266
Wyświetleń: 1491
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Geometria analityczna - wykład - strona 1 Geometria analityczna - wykład - strona 2 Geometria analityczna - wykład - strona 3

Fragment notatki:


1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, to można określić współrzędne wektora  a  jako miary rzutów  ax ,  ay  tego wektora na osie  Ox  i  Oy . Oznaczamy −→ AB  =  a  = [ ax, ay ]. Jeżeli  A  = ( x 1 , y 1),  B  = ( x 2 , y 2), to  ax  =  x 2  − x 1, ay  =  y 2  − y 1. Zauważmy, że gdy  i ,  j  oznaczają wektory jednostkowe na osiach, to a  =  axi  +  ayj. Długość wektora wynosi |a|  = a 2 x  +  a 2 y  = ( x 2  − x 1)2 + ( y 2  − y 1)2 . Wektory o długości 1 nazywamy wersorami. Natomiast kątem między wektorami leżącymi na półprostych  l 1 i  l 2 nazywamy ten z dwóch kątów utworzonych przez te półproste, którego miara spełnia nierówność 0 ϕ π/ 2. Iloczyn skalarny wektorów  a  i  b  określamy jako a ◦ b  =  |a||b|  cos  ϕ. Bezpośrednio z tej definicji mamy, że  i ◦ i  =  j ◦ j  = 1 oraz  i ◦ j  = 0. Stąd otrzymujemy a ◦ b  =  axbx  +  ayby. Zatem  |a||b|  cos  ϕ  =  axbx  +  ayby , więc cos  ϕ  = |axbx  +  ayby| |a| · |b| (wartość bezwzględna dlatego, żeby kąt spełniał warunek 0 ϕ π/ 2). Przykład  Dane są punkty  A  = (1 ,  1),  B  = (3 ,  3),  C  = (5 ,  1). Obliczyć współrzędne wektorów −→ AB , − − → BC , −→ CA , ich długości, i kąty między nimi. 1.2 Wektory w przestrzeni Wszystkie pojęcia nie wymagające układu współrzędnych definiuje się tak jak na płasz- czyźnie. Niech  Oxyz  będzie prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni, a  i ,  j k  ozna- czają wektory jednostkowe na osiach. Wektor −→ AB  o początku  A  = ( x 1 , y 1 , z 1) i końcu B  = ( x 2 , y 2 , z 2), ma współrzędne  ax  =  x 2  − x 1,  ay  =  y 2  − y 1,  az  =  z 2  − z 1. Piszemy: −→ AB  = [ x 2  − x 1 , y 2  − y 1 , z 2  − z 1] . 1 Długość wektora wynosi |a|  = a 2 x  +  a 2 y  +  a 2 z  = ( x 2  − x 1)2 + ( y 2  − y 1)2 + ( z 2  − z 1)2 . Jeżeli przez  α ,  β ,  γ  oznaczymy kąty, jakie wektor  a  = [ ax, ay, az ] tworzy z osiami układu, to cos  α  = ax |a| , cos  β  = ay |a| , cos  γ  = az |a| . Stąd cos 2  α  + cos2  β  + cos2  γ  = 1 . Zatem wektor  l  = [cos  α,  cos  β,  cos  γ ] jest wersorem. Ponadto  a  =  |a| · l . Liczby cos  α , cos  β , cos  γ  nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora  a . Kosinusy kie- runkowe wektora 

(…)

… , y − y0 , z − z0 ], k = [a, b, c] otrzymujemy
[x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = [ta, tb, tc]
Porównując współrzędne otrzymujemy równości charakteryzujące prostą:
l:

 x = x0 + ta



y = y0 + tb
z = z0 + tc
gdzie t ∈ R.
(5)
Równania (5) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej.
Przykład . Równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (2, −3, 5)
i równoległej do wektora k = [1, −5, 2] mają postać:

 x

= 2+t
l : y = −3 − 5t


z = 5 + 2t
5
gdzie t ∈ R.
Jeżeli zamiast wektora znany jest drugi punkt prostej P1 = (x1 , y1 , z1 ), to wektorem
−→

kierunkowym jest P0 P1 = [x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ].
Przykład . Napisać równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P0 =
(4, −2, −6), P1 = (2, −2, 3).
Wektorem kierunkowym jest tutaj P0 P1 = [−2, 0, 9], zatem…
… przechodzącej przez P i prostopadłej
do π (wektor kierunkowy to [A, B, C]) i wyliczyć punkt przecięcia prostej z płaszczyzną.
Przykład . Znaleźć rzut punktu P = (1, 2, 4) na płaszczyznę x − 3y + 4z − 3 = 0.
Rozwiązanie. Prosta prostopadła do płaszczyzny (i przechodząca przez P ) ma równanie
kierunkowe
y−2
z−4
x−1
=
=
.
1
−3
4
Do rachunków jednak wygodniejsze są równania parametryczne:
x = 1 + t, y = 2 − 3t…
…) i (a, 0). Te punkty nazywamy wierzchołkami hiperboli. Ale dla x = 0
2
otrzymujemy równanie sprzeczne − y2 = 1. Zatem współczynnik b nie ma interpretacji
b
geometrycznej.
Liczby 2a i 2b nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osią urojoną hiperboli. Natomiast 2c nazywamy ogniskową hiperboli.
Definicja 7 Liczbę e = c/a nazywamy mimośrodem hiperboli.
Ponieważ teraz 0 < a < c, więc e > 1.
Definicja 8 Hiperbolę
… w równaniu (10) i podstawiając c = a2 + b2 − r2 otrzymamy
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0.
(11)
Przykład Wyznaczyć środek i promień okręgu x2 + y 2 − 12x + 4y + 7 = 0.
Rozwiązanie. Z równania mamy a = 6, b = −2, c = 7. Stąd r2 = 62 − (−2)2 − 7 = 25.
Zatem S = (6, −2), r = 5.
Oprócz równań (10) i (11) można okrąg przedstawić przy pomocy równań parametrycznych:
x = a + r cos t, y = r sin t, t ∈ [0, 2π).
6.2…
…, gdy znany jest jeden jej punkt P0 =
(x0 , y0 , z0 ) i wektor n = [A, B, C] prostopadły do płaszczyzny. Wtedy, jeżeli P = (x, y, z)
−→

jest dowolnym punktem płaszczyzny, to wektor P0 P leży w tej płaszczyźnie, a więc jest
prostopadły do wektora n i z warunku prostopadłości otrzymujemy
−→

P0 P ◦ n = 0.
(2)
−→

Ponieważ P0 P = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ], to po obliczeniu iloczynu skalarnego mamy
równość…

x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
nazywamy hiperbolą sprzężoną z hiperbolą (15).

(16)
Wierzchołki i ogniska hiperboli (16) leżą na osi Oy.
Można dość łatwo wykazać następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2 Proste
b
y=± x
a
(17)
asymptotami hiperboli (15) i (16).
Przykład Dana jest hiperbola x2 −y 2 = 8. Napisać równanie hiperboli współogniskowej
przechodzącej przez punkt A(−5, 3).
2
2
Odp. x − y6 = 1.
10…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz