To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zadanie 1 Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach w punktach A(-4, 3) i B(2, 5) Współrzędne środka okręgu:
Promień okręgu:
a więc równanie poszukiwanego okręgu:
Zadanie 2 Napisać równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty: A(1, -2), B(0, -1) i C(-3, 0).
Zakładając, że okrąg istnieje ( punkty nie leżą na jednej prostej), można jego równanie napisać w postaci ogólnej:
Trzy nieznane parametry w powyższym równaniu wyznaczymy z układu trzech równań (dane punkty muszą spełniać równanie okręgu):
Wyznaczając z równań 2) i 3) kolejno:
i wstawiając do równania 1) otrzymuje się:
i ostatecznie poszukiwane równanie okręgu:
x 2 + y 2 + 6x + 10y +9 = 0 co można napisać jako:
(x + 3) 2 - 9 + (y + 5) 2 - 25 + 9 = 0
(x + 3) 2 + (y + 5) 2 = 25 Zadanie 3 Napisać równanie eleipsy, której ogniska leżą na osi x symetrycznie względem początku układu i o której wiadomo, że przechodzi przez punkt (-4, ) i ma mimośród e = .
Równanie kanoniczne elipsy:
Elipsa przechodzi przez zadany punkt, a więc musi być:
Wiadomo, że mimośród elipsy:
i:
i ostatecznie równanie poszukiwanej elipsy:
Zadanie 4 Napisać równanie hiperboli, której wierzchołki leżą na osi x, kierownicami są proste x = , a mimośród jest równy e = Równanie kanoniczne hiperboli:
Mimośród hiperboli:
a więc hiperbola jest równoosiowa . Równanie kierownicy:
i poszukiwane równanie:
x 2 - y 2 = 1 Zadanie 5 Wyznaczyć styczną do elipsy x 2 + 4y 2 = 16 w punkcie (2, ).
Sprawdzamy czy punkt leży na elipsie:
Równanie stycznej:
Jak wiadomo współczynnik kierunkowy m jest równy pierwszej pochodnej funkcji w danym punkcie:
, przy czym dla punktu leżącego w I ćwiartce płaszczyzny w grę wchodzi górna połowa elipsy, czyli:
a więc:
Zadanie 6 Wyznaczyć styczną do elipsy x 2 + 2y 2 = 8 przechodzącą przez punkt (0, 6).
Ogólne równanie prostej przechodzącej przez punkt (x 0 , y 0 ):
gdzie m jest współczynnikiem kierunkowym prostej.
W naszym przypadku:
po podstawieniu do równania elipsy (należy znaleźć punkty wspólne):
Jeżeli poszukiwana prosta ma być styczną musi być Δ = 0 - równanie może mieć tylko jeden pierwiastek (ze względu na x):
(…)
… + 9 = 0.
Do rozwiązania jest układ 2-ch równań:
a więc istnieją dwa wspólne punkty:
Zadanie 12
Znaleźć równanie stycznej do elipsy x2 + 2y2 = 6 w punkcie (-2, 1) elipsy.
Sprawdzamy, czy punkt leży na elipsie:
(-2)2 + 2⋅12 = 4 + 2 = 6
Równanie stycznej:
Pochodna funkcji:
a więc równanie stycznej:
Zadanie 13
Znaleźć ogniskową, mimośród, parametr i równania asymptot hiperboli o równaniu x2 - 3y2 = 9.
Równanie kanoniczne danej hiperboli:
a więc:
półoś rzeczywista a = 3
półoś urojona b = ogniskowa: mimośród: parametr: asymptoty: Zadanie 14
Znaleźć równania stycznych do hiperboli 2x2 - y2 = 2 przeprowadzonych przez punkt (1, 2).
Równanie kierunkowe stycznej:
Druga styczna, jak łatwo stwierdzić:
x = 1
Po wstawieniu do równania hiperboli otrzymuje się:
Otrzymujemy więc dwie styczne:
x = 1
: Pierwszy punkt…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)