To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska PODSTAWOWE WZORY TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ Wzory trygonometrii sferycznej moŜna wyprowadzić na wiele sposobów. W niniejszym konspekcie wykorzystany zostanie rachunek wektorowy do wyprowadzenia dwóch podstawowych wzorów, pozostałe moŜna wyprowadzić na ich podstawie na drodze mniej lub bardziej elementarnych operacji trygonometrycznych oraz na pojęciu trójkątów wzajemnie biegunowych. Obierając kulę o promieniu jednostkowym oraz konstruując na jej powierzchni trójkąt sferyczny zgodnie z rysunkiem poniŜej: Konwencja: A, B, C – wierzchołki trójkąta sferycznego, tak samo będziemy oznaczać kąty w trójkącie sferycznym. a, b, c – boki trójkąta sferycznego, bok a leŜy naprzeciw kąta A itd. Dostajemy (iloczyn skalarny wektorów normalnych do odpowiednich płaszczyzn, tutaj OAC oraz OAB): ( ) ( ) 3 1 2 1 3 1 2 1 cos e e e e e e e e × × × × = A ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] c b b c a c b b a A sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos 3 1 1 3 1 2 1 1 2 3 3 2 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 − = = − = × × − = × × × × = e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Analogicznie postępujemy dla kątów przy wierzchołkach B oraz C. Przekształcając, powyŜsze wzory ze względu na cosinus boku trójkąta sferycznego dostajemy grupę wzorów cosinusowych dla boków : A c b c b a cos sin sin cos cos cos + = B c a c a b cos sin sin cos cos cos + = C b a b a c cos sin sin cos cos cos + = Korzystając z pojęcia trójkątów wzajemnie biegunowych, mamy następujące twierdzenia: A C B a b c e2 e1 e3 O Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska Kąty danego trójkąta sferycznego i odpowiadające im boki trójkąta biegunowego dopełniają się do π, czyli mamy: π π π = + = + = + ' ' ' c C b B a A Kąty trójkąta biegunowego i dopowiadające im boki trójkąta danego dopełniają się do π: π π
(…)
… dla kątów.
Wykorzystując ponownie rachunek wektorowy, sinus kąta (np. A) moŜemy zapisać z
wykorzystaniem iloczynu wektorowego jako:
sin A =
(e1 × e 2 ) × (e1 × e 3 )
e 1 × e 2 e1 × e 3
(e1 × e 2 ) × (e1 × e 3 ) = e1 × e 2
e1 × e 3 sin A = sin b sin c sin A
WyraŜenie to moŜna równieŜ przedstawić jako iloczyn mieszany, a wykorzystując jego
przemienność cykliczną dostajemy ostatecznie:
sin b sin c sin A = sin…
… w trójkącie sferycznym jest większa od π a mniejsza niŜ 3π: π < A + B + C < 3π
RóŜnica między sumą dwóch kątów i trzecim kątem jest zawsze mniejsza niŜ π:
A+ B−C <π , A+C − B <π , B+C − A<π
Konspekt powstał na podstawie:
Borisenko A. I., Tarapov I.E., Vector and Tensor Analysis with applications, Dover
Publications Inc., New York, 1979
Szpunar W. Geodezja wyŜsza i astronomia geodezyjna, Tom I, PWN, Warszawa…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)