Geodezja geometryczna - materiały dydaktyczne

Nasza ocena:

5
Pobrań: 126
Wyświetleń: 1344
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Geodezja geometryczna - materiały dydaktyczne  - strona 1 Geodezja geometryczna - materiały dydaktyczne  - strona 2 Geodezja geometryczna - materiały dydaktyczne  - strona 3

Fragment notatki:

Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna  Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska    PODSTAWOWE WZORY TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ      Wzory  trygonometrii  sferycznej  moŜna  wyprowadzić  na  wiele  sposobów.  W  niniejszym  konspekcie  wykorzystany  zostanie  rachunek  wektorowy  do  wyprowadzenia  dwóch  podstawowych  wzorów,  pozostałe moŜna wyprowadzić na ich podstawie na drodze mniej lub bardziej elementarnych operacji  trygonometrycznych oraz na pojęciu trójkątów wzajemnie biegunowych. Obierając kulę o promieniu  jednostkowym oraz konstruując na jej powierzchni trójkąt sferyczny zgodnie z rysunkiem poniŜej:                 Konwencja:    A,  B,  C  –  wierzchołki  trójkąta  sferycznego, tak samo będziemy  oznaczać  kąty  w  trójkącie  sferycznym.      a,  b,  c  –  boki  trójkąta  sferycznego,  bok  a  leŜy  naprzeciw kąta A itd.        Dostajemy (iloczyn skalarny wektorów normalnych do odpowiednich płaszczyzn, tutaj OAC  oraz OAB):    ( ) ( ) 3 1 2 1 3 1 2 1 cos e e e e e e e e × × × × = A   ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] c b b c a c b b a A sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos 3 1 1 3 1 2 1 1 2 3 3 2 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 − = = − = × × − = × × × × = e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e     Analogicznie  postępujemy  dla  kątów  przy  wierzchołkach  B  oraz  C.  Przekształcając,  powyŜsze  wzory  ze  względu  na  cosinus  boku  trójkąta  sferycznego  dostajemy  grupę  wzorów  cosinusowych dla boków :     A c b c b a cos sin sin cos cos cos + =   B c a c a b cos sin sin cos cos cos + =   C b a b a c cos sin sin cos cos cos + =     Korzystając z pojęcia trójkątów wzajemnie biegunowych, mamy następujące twierdzenia:    A  C  B  a  b  c  e2  e1  e3  O  Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna  Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska    Kąty  danego  trójkąta  sferycznego  i  odpowiadające  im  boki  trójkąta  biegunowego  dopełniają  się do  π, czyli mamy:    π π π = + = + = + ' ' ' c C b B a A     Kąty trójkąta biegunowego i dopowiadające im boki trójkąta danego dopełniają się do  π:    π π

(…)

… dla kątów.
Wykorzystując ponownie rachunek wektorowy, sinus kąta (np. A) moŜemy zapisać z
wykorzystaniem iloczynu wektorowego jako:
sin A =
(e1 × e 2 ) × (e1 × e 3 )
e 1 × e 2 e1 × e 3
(e1 × e 2 ) × (e1 × e 3 ) = e1 × e 2
e1 × e 3 sin A = sin b sin c sin A
WyraŜenie to moŜna równieŜ przedstawić jako iloczyn mieszany, a wykorzystując jego
przemienność cykliczną dostajemy ostatecznie:
sin b sin c sin A = sin…
… w trójkącie sferycznym jest większa od π a mniejsza niŜ 3π: π < A + B + C < 3π
RóŜnica między sumą dwóch kątów i trzecim kątem jest zawsze mniejsza niŜ π:
A+ B−C <π , A+C − B <π , B+C − A<π
Konspekt powstał na podstawie:
Borisenko A. I., Tarapov I.E., Vector and Tensor Analysis with applications, Dover
Publications Inc., New York, 1979
Szpunar W. Geodezja wyŜsza i astronomia geodezyjna, Tom I, PWN, Warszawa…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz