Geodezja geometryczna - materiały dydaktyczne

Nasza ocena:

5
Pobrań: 329
Wyświetleń: 1603
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Geodezja geometryczna -  materiały dydaktyczne  - strona 1 Geodezja geometryczna -  materiały dydaktyczne  - strona 2 Geodezja geometryczna -  materiały dydaktyczne  - strona 3

Fragment notatki:

Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna  Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska    ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH    Prezentowane metody rozwiązywania małych trójkątów sferycznych (długość boku rzędu 30 -  50km)  mają  obecnie  raczej  walory  historyczno  –  dydaktyczne.  Czas  jakiś  temu,  zupełnie  niedawno  ;),  kiedy  nie  było  komputerów  na  kaŜdym  biurku  naleŜało  szukać  metod  uproszczonych  rozwiązywania  problemów  geodezyjnych,  tak  aby  ograniczyć  uŜycie  czasochłonnych  operacji  rachunkowych  a  zarazem  zapewnić  odpowiednią  dokładność  metody. Zatem zamiast rozwiązywać trójkąty sferyczne metodami ścisłymi uproszczono je w  taki sposób aby rozwiązywać to zadanie za pomocą trygonometrii płaskiej.        METODA LEGENDRE’A:    Twierdzenie Legendre’a  Mały trójkąt sferyczny (długość boków 30 – 50 km) moŜe być rozwiązany jako trójkąt płaski  o  bokach  takiej  samej  długości  jak  boki  trójkąta  sferycznego  i  o  kątach  równych  kątom  trójkąta sferycznego zmniejszonym o jedną trzecią nadmiaru sferycznego. (oczywiście jest to  pewnego rodzaju uproszczenie)     ε 3 1 + =  P S A A   ε 3 1 + =  P S B B                      (1)  ε 3 1 + =  P S C C     Prawdziwość twierdzenia moŜna wykazać wychodząc z wzoru cosinusów dla boków trójkąta  sferycznego:    s A R c R b R c R b R a cos sin sin cos cos cos + =     →    R c R b R c R b R a A s sin sin cos cos cos cos − =      (2)  Rozwijając  w  szereg  wielkości  w  liczniku  i  mianowniku  po  prawej  stronie  powyŜszego  równania otrzymamy:            −       −       + −       + − −       + − ≈ 3 3 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 6 6 24 2 1 24 2 1 24 2 1 cos R c R c R b R b R c R c R b R b R a R a A s       (3)    Dla przypomnienia:  ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − = − + − = 0 1 2 5 3 ! 1 2 1 ... ! 5 ! 3 ! 1 sin n n n n x x x x x   Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna  Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska 

(…)

… sferyczny.
METODA ADDITAMENTÓW (SOLDNERA)
Metodę additamentów wyprowadza się wychodząc z twierdzenia sinusów dla trójkąta
sferycznego, czyli np:
b
a sin B
sin = sin
(16)
R
R sin A
c
a sin C
sin = sin
(17)
R
R sin A
Rozwijając w szereg sinusy boków i zostawiając pierwsze dwa wyrazy otrzymamy:
b
b3   a
a 3  sin B
 − 3= −
 R 6 R   R 6 R 3  sin A


 

MnoŜąc przez R mamy:

b3  
a 3  sin B…
… additamentami liniowymi (algebraicznymi).
6R 2 6R 2 6R 2
PowyŜsze formuły przyjmują postać twierdzenia sinusów trygonometrii płaskiej:
sin B
b' = a '
sin A
(24)
Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska
c' = a '
sin C
sin A
(25)
Po obliczeniu wielkości „primowych” dodajemy additamenty i otrzymujemy rozwiązanie
małego…
… nadmiar (eksces) sferyczny
korzystając z wzorów L’Huiliera oraz Cagnoli
wzór Cagnoli: sin
ε
2
wzór L’Huiliera: tg
=
ε
4
sin 12 a sin 12 b
sin C
cos 12 c
= tg
s s −a s −b s −c
a+b+c
tg
tg
tg
, s=
2
2
2
2
2
PROCEDURA OBLICZEŃ DLA METODY LEGENDRE’A
Pomierzone kąty A’, B’, C’
A’+B’+C’ = 180o + eksces + odchyłka kątowa
A’+B’+C’ = 180o + ε + ω
Wyznaczyć eksces sferyczny
Pole∆
a 2 sin B ' sin C '
ε=
np: ε =
ρ…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz