To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH Prezentowane metody rozwiązywania małych trójkątów sferycznych (długość boku rzędu 30 - 50km) mają obecnie raczej walory historyczno – dydaktyczne. Czas jakiś temu, zupełnie niedawno ;), kiedy nie było komputerów na kaŜdym biurku naleŜało szukać metod uproszczonych rozwiązywania problemów geodezyjnych, tak aby ograniczyć uŜycie czasochłonnych operacji rachunkowych a zarazem zapewnić odpowiednią dokładność metody. Zatem zamiast rozwiązywać trójkąty sferyczne metodami ścisłymi uproszczono je w taki sposób aby rozwiązywać to zadanie za pomocą trygonometrii płaskiej. METODA LEGENDRE’A: Twierdzenie Legendre’a Mały trójkąt sferyczny (długość boków 30 – 50 km) moŜe być rozwiązany jako trójkąt płaski o bokach takiej samej długości jak boki trójkąta sferycznego i o kątach równych kątom trójkąta sferycznego zmniejszonym o jedną trzecią nadmiaru sferycznego. (oczywiście jest to pewnego rodzaju uproszczenie) ε 3 1 + = P S A A ε 3 1 + = P S B B (1) ε 3 1 + = P S C C Prawdziwość twierdzenia moŜna wykazać wychodząc z wzoru cosinusów dla boków trójkąta sferycznego: s A R c R b R c R b R a cos sin sin cos cos cos + = → R c R b R c R b R a A s sin sin cos cos cos cos − = (2) Rozwijając w szereg wielkości w liczniku i mianowniku po prawej stronie powyŜszego równania otrzymamy: − − + − + − − + − ≈ 3 3 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 6 6 24 2 1 24 2 1 24 2 1 cos R c R c R b R b R c R c R b R b R a R a A s (3) Dla przypomnienia: ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − = − + − = 0 1 2 5 3 ! 1 2 1 ... ! 5 ! 3 ! 1 sin n n n n x x x x x Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska
(…)
… sferyczny.
METODA ADDITAMENTÓW (SOLDNERA)
Metodę additamentów wyprowadza się wychodząc z twierdzenia sinusów dla trójkąta
sferycznego, czyli np:
b
a sin B
sin = sin
(16)
R
R sin A
c
a sin C
sin = sin
(17)
R
R sin A
Rozwijając w szereg sinusy boków i zostawiając pierwsze dwa wyrazy otrzymamy:
b
b3 a
a 3 sin B
− 3= −
R 6 R R 6 R 3 sin A
MnoŜąc przez R mamy:
b3
a 3 sin B…
… additamentami liniowymi (algebraicznymi).
6R 2 6R 2 6R 2
PowyŜsze formuły przyjmują postać twierdzenia sinusów trygonometrii płaskiej:
sin B
b' = a '
sin A
(24)
Materiały dydaktyczne – Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska
c' = a '
sin C
sin A
(25)
Po obliczeniu wielkości „primowych” dodajemy additamenty i otrzymujemy rozwiązanie
małego…
… nadmiar (eksces) sferyczny
korzystając z wzorów L’Huiliera oraz Cagnoli
wzór Cagnoli: sin
ε
2
wzór L’Huiliera: tg
=
ε
4
sin 12 a sin 12 b
sin C
cos 12 c
= tg
s s −a s −b s −c
a+b+c
tg
tg
tg
, s=
2
2
2
2
2
PROCEDURA OBLICZEŃ DLA METODY LEGENDRE’A
Pomierzone kąty A’, B’, C’
A’+B’+C’ = 180o + eksces + odchyłka kątowa
A’+B’+C’ = 180o + ε + ω
Wyznaczyć eksces sferyczny
Pole∆
a 2 sin B ' sin C '
ε=
np: ε =
ρ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)