To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Fonony akustyczne
Fonony to drgania atomów w sieci kryształu. Najłatwiej jest je wyprowadzić z sieci liniowej:
Siła działająca na atom wychylony z położenia równowagi:
Z II prawa dynamiki Newtona:
Fw = m a
F = − α x , gdzie α - stała siłowa
← przyspieszenie = druga pochodna wychylenia po czasie:
&
m ξ&n = α ξ n −1 − α ξ n + α ξ n +1 − α ξ n
&
m ξ&n = α (ξ n −1 − 2α ξ n + α ξ n +1 ) - n - te równanie, dotyczące wychylenia n -tego atomu
Równanie to jest skojarzone z równaniem n − 1 i n + 1 .
Szukamy rozwiązania w postaci fali płaskiej:
ξ n = Ae i (ωt − qna ) ,
(
gdzie na = x to położenie atomu w sieci
− mω 2 = α e iqa + e −iqa − 2
− mω 2 = α (2 cos qa − 2)
ω=
)
2α
(1 − cos qa )
m
Korzystamy z własności funkcji trygonometrycznych:
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x → 2 sin 2 x = 1 − cos 2 x
ω=
4α
α
qa
qa
sin 2 = 2
⋅ sin
m
m
2
2
- jest to wyrażenie na dyspersję sieci
Najkrótsza możliwa fala akustyczna, jaka może się rozchodzić w ciele stałym:
λmin = 2a ,
Dla małych
stąd
q max =
α : sin α ≈ α
2π
λ min
=
→
π
a
ω=
α
m
⋅ qa = uq , gdzie u - prędkość dźwięku w krysztale
Po skwantowaniu tego pola harmonicznego uzyskamy fonony – elementarne drgania atomów:
Energia całkowita drgań:
1
E = hω n +
2
- okazuje się, że dla n = 0 występują drgania zerowe (atomy w sieci nie mogą być nieruchome)
Fonony optyczne
Rozpatrujemy sieć, w której mamy po dwa atomy na węzeł:
&
m1 ξ&n ,1 = α ξ n −1, 2 − α ξ n ,1 + β ξ n , 2 − β ξ n ,1
&
m ξ& = β ξ − β ξ + α ξ
−α ξ
2
n ,1
n ,1
n, 2
ξ n ,1 = Ae i (ωt − qna )
n +1,1
n,2
ξ n , 2 = Ae i (ωt − qna )
Dla obu atomów częstość i wektor falowy są takie same, różne są natomiast amplituda i faza.
Otrzymujemy układ równań:
− m1ω 2 A = αBeiqa − αA + βB − βA
2
− iqa
− m2ω B = βA − βB + αAe − αB
A[(α + β ) − m1ω 2 ] − B (αeiqa + β ) = 0
−iqa
2
A(− β − αe ) + B[(α + β ) − m2ω ] = 0
W zapisie macierzowym:
(α + β ) − m1ω 2
− iqa
− (αe + β )
− (αeiqa + β ) A 0
=
2
B 0
(α + β ) − m2ω
Rozwiązanie nietrywialne istnieje wtedy, gdy wyznacznik macierzy ≠ 0 .
[(α + β ) − m1ω 2 ][(α + β ) − m2ω 2 ] − (αeiqa + β )(αe −iqa + β ) = 0
gdy przyjmiemy, że m1 = m2 = m , ilość rozwiązań się nie zmieni, a za to równanie się uprości:
[(α + β ) − mω 2 ]2 − (α 2 + β 2 + 2αβ cos qa) = 0
(α + β ) − mω 2 = ± δ
ω=
(α + β ) ± δ
m
=δ2
Gdy
q = 0 , δ 2 = α 2 + β 2 + 2αβ = (α + β ) 2
ω− = 0, ω+ =
Gdy
ω− =
q=
π
a
,
2(α + β )
m
δ 2 = α 2 + β 2 − 2αβ = (α − β ) 2
2β
2α
, ω+ =
m
m
Jak zinterpretować to rozwiązanie?
Górna linia to drgania optyczne – atomy z jednego węzła wychylają się w przeciwne strony.
Dolna linia – drgania akustyczne, w których atomy z jednego węzła wychylają się w tę samą stronę.
Wśród tych drgań wyróżniamy jeszcze fale poprzeczne: T1 i T2 , oraz fale podłużne L.
Tworzą one tzw. gałęzie: 3 gałęzie akustyczne, oraz 3(n-1) gałęzi optycznych.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)