To tylko jedna z 22 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2009-12-13
Twierdzenie o wiriale:
Rozważmy cząstkę P o masie m, na którą działa siła F:
z
r
F
y
x
Fr ma r ,
F ma / r
ale
d d
r ( r ) 2
dt
dt
d
d d r d
( r )
r
r 2
dt
dt
dt
dt
d
Fr m
( r ) m 2
dt
Stąd
(1)
Wprowadźmy uśrednienie po czasie funkcji
f śr
f (t)
1
f f
T
f t 0 'T
W idealnym eksperymencie T
1
T
t0 T
t0
T
f dt
0
f t dt
1 t0 T
f (t )dt
t
T T 0
f t 0 lim
W stanie stacjonarnym f f (t0)
1 T
0 f (t ) dt
T T
f lim
R.M.Siegoczyński
2007
1
2009-12-13
Wróćmy do równania (1) i uśrednijmy je po czasie, ale tak właśnie
d
F r m ( r ) m 2
dt
d
1
r lim
T T
dt
ale
i
Ek
m 2
2
d
1
dt ( r ) dt lim T ( r )
T
c
r
o
E k
W końcu
Wyrażenie
T
T
0
0
m 2
2
1
Fr Ek
2
Jest to twierdzenie o
wiriale dla cząstki P
(Clausius – 1870)
1 nazywamy wiriałem siły F
F r
2
Średnia energia kinetyczna cząstki P równa się wiriałowi siły F
działającej na cząstkę.
Jako przykład rozważmy siłę centralną działającą na cząstkę P. Siła centralna
jest siłą zachowawczą , więc zachodzi następujący związek,
dE p
F ir
dr
m
. z
Fc
r
ir
Wobec tego zachodzi również związek,
0
y
x
dE p
dE p
F r ir r
r
dr
dr
2
2009-12-13
Jeśli energia potencjalna odpowiadająca sile F ma postać,
Ep( r )
rn
to
dE p
dr
F r nE p
nE p
n
n 1
r
r
Twierdzenie o wiriale przyjmie więc następującą postać,
()
2 Ek n E p
Ponieważ
Ek E p E E
mamy
Ek
n
E
n2
Dla oscylatora harmonicznego n = -2 =
Dla pola grawitacyjnego n = 1 = - ½
Obliczmy wiriał dla układu N jednakowych cząstek zamkniętych w
naczyniu o objętości V.
Dla każdej cząstki można napisać:
Ek ,i
1
Fi ri ,
2
Sumując stronami po wszystkich cząstkach:
E
i
Ale
k ,i
1
Fi ri ,
2 i
Eki Ek
Ek ,i
i
1
Fi ri
2
i
gdyż żadna z cząstek nie jest wyróżniona.
N Ek
1
Fi ri .
2 i
3
2009-12-13
Siłę działającą na i-tą cząstkę można zapisać w postaci sumy sił zewnętrznych i
wewnętrznych
Fi Fi , z Fi , j
j
gdzie:
Fi , j rij , rij ri r j .
Wiriał sił wewnętrznych
Ostatecznie
N Ek
1
1
Fi , z ri Fij , rij
2
2 i, j
i
Wiriał sił zewnętrznych
Obliczmy wiriał sił zewnętrznych
1
1
1
Fi , z ri ( Fin Fit ) ri ( Fin ri Fit ri )
2
2
2 i
i
i
1
1
1
1
3
Fin r Fit ri Fin r 3[( pl 2 )l ] pV
2 i
2 i
2 i
2
2
N Ek
3
1
pV Fij , rij
2
2 i, j
4
2009-12-13
Ogólnie
pV
2
1
N E k Fij , rij
3
3 i, j
Dla gazu doskonałego Fij = 0, czyli
pV
2
N Ek
3
Dla gazu jednoatomowego = 3 ½
pV N kT N
kT,
R
N
T
RT nRT
NA
NA
Twierdzenie o
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)