To tylko jedna z 10 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ruch drgający Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki. Siła harmoniczna Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości . Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F = – k x gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a . Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A , a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem x = A cos ω t Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że – kx = ma czyli – kx = m (d v /d t ) wreszcie – kx = m (d2 x /d t 2) Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x ( t ), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że może to być funkcja x = A cos ω t i sprawdzamy d x /d t = v = – A ωsinω t d2 x /d t 2 = a = – A ω2cosω t Podstawiamy ten wynik do równania (13.2) (– kA cos ω t ) = m (– A ω2cosω t ) i otrzymujemy ω2 = k / m Widzimy, że x = A cos ω t jest rozwiązaniem równania ale tylko gdy m k / = ω . Zwróćmy uwagę, że funkcja x = A sin ω t jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A ). Najogólniejszym rozwiązaniem jest x = A sin( ω t + ϕ) gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe. Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą: • dla wychylenia A • dla prędkości ω A ( występuje gdy x = 0 ) • dla przyspieszenia ω2 A
(…)
…). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy
założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili
suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA2
1
1
1
mv 2 + kx 2 = kA 2
2
2
2
stąd
v2 =
Ponieważ k/m = ω2 więc
(
k 2
A − x2
m
v= ω
)
A2 − x 2
Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie
oznaczamy kreską umieszczoną…
… daje w wyniku też funkcję
okresową (rysunek).
A1cosω t + A2sinω t
A1cosω t
A1cosωt + A2sinωt = Asin(ωt + ϕ)
A2sinω t
Szukamy więc rozwiązania tej postaci.
Musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie
fazowe ϕ.
Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe ϕ. Zarówno siła wymuszająca jak i wychylenie
zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum do maksimum obejmuje
360° czyli 2π.
Przesunięcie fazowe ϕ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły
(o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).
Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kierunku
dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem siły o π/2.
Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych
dx/dt= ωAcos(ωt + ϕ),
d2x/dt2 = -ω2Asin(ωt + ϕ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)