Fizyka - Ruch drgający - Siła harmoniczna

Nasza ocena:

3
Pobrań: 35
Wyświetleń: 1099
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Fizyka - Ruch drgający - Siła harmoniczna - strona 1 Fizyka - Ruch drgający - Siła harmoniczna - strona 2 Fizyka - Ruch drgający - Siła harmoniczna - strona 3

Fragment notatki:

Ruch drgający Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy  ruchem okresowym  (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji  sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym  i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki. Siła harmoniczna Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i  która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy  siłą harmoniczną  lub  siłą sprężystości .  Jeżeli obierzemy oś  x  wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem  F  = –  k x  gdzie  x  jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez  rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest  prawo Hooke'a .  Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa  m  (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w  położeniu  x  =  A , a następnie w chwili  t  = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu  będzie dane równaniem x  =  A cos ω t Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla  t  = 0,  x  =  A  tzn. opis zgadza się z założeniami. Z II  zasady dynamiki Newtona wynika, że – kx  =  ma czyli – kx = m (d v /d t ) wreszcie  –  kx  =  m (d2 x /d t 2)  Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć"  rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest  funkcja  x ( t ), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "–".  Zgadujemy, że  może  to być funkcja  x  =  A cos ω t  i sprawdzamy  d x /d t  =  v  = –  A ωsinω t   d2 x /d t 2 =  a  = –  A ω2cosω t  Podstawiamy ten wynik do równania (13.2) (–  kA cos ω t ) =  m (–  A ω2cosω t ) i otrzymujemy   ω2 =  k / m  Widzimy, że  x  =  A cos ω t  jest rozwiązaniem równania  ale tylko gdy  m k  / = ω . Zwróćmy uwagę, że funkcja  x  =  A sin ω t  jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia  warunku początkowego bo gdy  t  = 0 to  x  = 0 (zamiast  x = A ).  Najogólniejszym rozwiązaniem jest  x  =  A sin( ω t  + ϕ)  gdzie  ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe  A  i ϕ są określone przez warunki początkowe. Wartości maksymalne  (amplitudy) odpowiednich  wielkości wynoszą: • dla wychylenia A • dla prędkości ω A  ( występuje gdy x = 0 ) • dla przyspieszenia ω2 A 

(…)

…). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy
założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili
suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA2
1
1
1
mv 2 + kx 2 = kA 2
2
2
2
stąd
v2 =
Ponieważ k/m = ω2 więc
(
k 2
A − x2
m
v= ω
)
A2 − x 2
Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie
oznaczamy kreską umieszczoną…
… daje w wyniku też funkcję
okresową (rysunek).
A1cosω t + A2sinω t
A1cosω t
A1cosωt + A2sinωt = Asin(ωt + ϕ)
A2sinω t
Szukamy więc rozwiązania tej postaci.
Musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie
fazowe ϕ.
Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe ϕ. Zarówno siła wymuszająca jak i wychylenie
zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum do maksimum obejmuje
360° czyli 2π.
Przesunięcie fazowe ϕ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły
(o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).
Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kierunku
dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem siły o π/2.
Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych
dx/dt= ωAcos(ωt + ϕ),
d2x/dt2 = -ω2Asin(ωt + ϕ…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz