Estymacja parametrów w modelu normalnym Wykład 7; 26 marca 2012 Model normalny Przez model normalny b˛edziemy rozumie´c rodzin˛e rozkładów normalnych N ( µ, σ ) , µ ∈ R , σ 0 . Z Centralnego Twierdzenia Granicznego wynika, ˙ze wiele zjawisk i procesów opisywanych przez nauki ekonomiczne i przyrodnicze ma rozkład zbli- ˙zony do rozkładu normalnego. Poj˛ecie losowej próby prostej Definicja 1. n-elementow ˛ a losow ˛ a prób ˛ a prost ˛ a nazywamy ci ˛ ag n niezale˙znych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach prawdopodobie´nstwa. Uwaga 1. Niektórzy autorzy uto˙zsamiaj ˛ a losow ˛ a prób˛e prost ˛ a X 1 , X 2 , . . . , Xn z jej realizacj ˛ a x 1 , x 2 , . . . , xn ; x 1 jest realizacj ˛ a X 1 itd. Definicja 2. Losow ˛ a prób˛e prost ˛ a X 1 , X 2 , . . . , Xn b˛edziemy nazywa´c losow ˛ a pró- b ˛ a prost ˛ a z rozkładu normalnego, je˙zeli zmienne Xk, k = 1 , 2 , . . . , n maj ˛ a rozkład N ( µ, σ ) dla pewnych µ ∈ R , σ 0 . Uwaga 2. W dalszym ci ˛ agu rozwa˙za´n: „estymacja w modelu normalnym” b˛edzie poj˛eciem równowa˙znym dla „wyznaczania estymatorów parametrów µ ∈ R i σ 0” na podstawie losowej próby prostej z rozkładu normalnego”. Rozkład cen mieszka ´n Mo˙zna oczekiwa´c, ˙ze rozkład cen domów w dzielnicach które nie pretenduj ˛ a do miana „presti˙zowych” czy „luksusowych” b˛edzie zbli˙zony do normalnego N ( µ, σ ); (cena mieszkania jest wtedy sum ˛ a niezale˙znych składników). Rozwa˙zmy dane dotycz ˛ ace cen mieszka´n w dzielnicy A (dzielnica A jest zdecydowanie mniej presti˙zowa ni˙z B) — mo˙zna zało˙zy´c, ˙ze roz- kład cen mieszka´n w A b˛edzie zbli˙zony do normalnego. ´Srednia w próbie Zakładamy, ˙ze nasze dane x 1 , . . . , xn s ˛ a realizacj ˛ a losowej próby prostej z rozkładu normalnego X 1 , . . . , Xn ; sensownym estymatorem µ jest ¯ X : ¯ X = 1 n ( X 1 , . . . , Xn ) . Dla konkretnej realizacji x 1 , . . . , xn losowej próby losowej X 1 , . . . , Xn z rozkładu normalnego realizacja ¯ X jest oznaczana symbolem ¯ x 1 Własno´sci zmiennej losowej ¯ X w modelu normalnym Zakładamy, ˙ze X 1 , . . . , Xn s ˛ a prób ˛ a prost ˛ a z rozkładu normalnego, Xi ∼ N ( µ, σ ) , i = 1 , 2 , . . . , n. ¯ X = 1 n ( X 1 , . . . , Xn ) jest zmienn ˛ a losow ˛ a. Funkcje próby prostej nazywane s ˛ a statystykami. Z własno´sci warto´sci oczekiwanej, omawianych na jednym z poprzednich wykła-
(…)
… (niestronniczym) estymatorem µ i
˛˙
2 jest nieobciazonym estymatorem σ 2 (por. Koronacki, Mielwariancja z próby S
˛˙
niczuk, Rozdz. 2.4).
´
Dane dotyczace cen mieszkan w A— histogram+krzywa normalna
˛
Weryfikacja zało˙ enia o normalno´ci rozkładu populacji
z
s
˙
˙ c ˙
Dane sa obserwacje x1 , x2 , . . . , xn . Czy mozna załozy´ , ze x1 , x2 , . . . , xn jest re˛
alizacja próby prostej z rozkładu normalnego N (µ, σ) dla pewnych µ i σ?
˛
˙
Metody weryfikacji załozenia o normalno´ci:
s
• Sporzadzenie histogramu i porównanie jego kształtu z krzywa dzwonowa
˛
˛
˛
(wykresem funkcji φ.)
2
0.006
0.004
0.002
0.000
50
100
150
200
250
300
350
Rysunek 1: Histogram probabilistyczny+ wykres g˛ sto´ci N (¯, s).
e s
x
• Sporzadzenie wykresu ramkowego i odpowiednia jego interpretacja
˛
• Sporzadzenie wykresu kwantylowego i odpowiednia jego interpretacja.
˛
• Testy zgodno´ci: Shapiro–Wilka i inne.
s
˙
Trzy z powyzszych metod wykorzystuja pojecie kwantyla.
˛
Kwantyle rozkładu normalnego— przykład
˙
˙
Załózmy, ze Y, wzrost dorosłych m˛ zczyzn w kraju A ma rozkład normalny N (176, 8).
e˙
Chcemy znale´ c liczb˛ d taka, ze
z´
e
˛ ˙
P (Y < d) = 0,99.
˙
˙
Znajomo´c liczby d moze by´ przydatna dla inzynierów sporzadzajacych projekty
s´
c
˛
˛
budowlane…
…, wygeneros
wanych przy pomocy generatora liczb pseudolosowych o rozkładzie N (176, 8)
2
1
˙
e
by´ sensownymi przyblizeniami kwantyli q1/n , q2/n , . . . (rz˛ du n , rz˛ du n itd.)
c
e
rozkładu N (0, 1); stad punkty (x1:n , q1/n ), (x2:n , q2/n ) powinny si˛ układa´ wo˛
e
c
kół (pewnej) prostej ; analogicznie punkty:
(x1:n , q1/n ), (x2:n , q2/n ), . . .
(1)
˙
równiez powinny si˛ układa´ wokół prostej.Wykres…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)