Energia kinetyczna

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1106
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Energia kinetyczna - strona 1 Energia kinetyczna - strona 2 Energia kinetyczna - strona 3

Fragment notatki:


7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych       Energią kinetyczną  punktu materialnego o masie m, poruszającego się z  prędkością  v , nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:    2 mv E 2 = .     Dla układu n punktów materialnych o masach mk poruszających się  z prędkością   v k energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych  poszczególnych punktów materialnych:  ∑ ∑ = = = = n 1 k 2 k k n 1 k 2 k k v m 2 1 2 v m E .               (7.75)      Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2),  prędkość bezwzględną   v k każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość  unoszenia   v C, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych    o  początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z,  i prędkość względną  v ′ ′ ′ x ,   y ,   z Ck względem układu ruchomego (rys. 7.17):    Ck C k v v v + = .     Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu  prędkości w postaci iloczynu skalarnego    k k 2 k v v v ⋅ =     otrzymamy:    ( ) ( ) ( )= + ⋅ + = = + ⋅ + = ⋅ = ∑ ∑ ∑ = = = n 1 k 2 Ck Ck C 2 C k Ck C n 1 k Ck C k n 1 k k k k v 2 v m 2 1 m 2 1 m 2 1 E v v v v v v v v   ∑ ∑ ∑ = = = + ⋅ + = n 1 k 2 Ck k 1 Ck k C n 1 k k 2 C v m 2 1 m m v 2 1 n k v v .                         (a)      Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ  występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu  względem ruchomego układu współrzędnych  ′ ′ ′ x ,  y ,  z .  Wiadomo  jednakże,  że  pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w  stosunku do ruchomego układu odniesienia  ′ ′ ′ x ,  y ,  z  jest równa zeru. Zatem    0 m n 1 k Ck k = ∑ = v .    Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w  jego ruchu  względem ruchomego układu odniesienia  ′ ′ ′ x ,   y ,   z :    ∑ = = n 1 k 2 Ck k c v m 2 1 E .                  (7.76)    Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez    ∑ = = n 1 k k m m   równanie (a) przyjmuje postać:  2 C C mv 2 1 E E + = .              (7.77)    Zależność (7.77) nosi nazwę 

(…)

… w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne
działające na tę bryłę.
Przykład 7.12. Do bębna kołowrotu o promieniu r i masie m1 jest przyłożony
stały moment obrotowy M. Do końca wiotkiej liny nawiniętej na bęben
przymocowano ciężar o masie m2, który przesuwa się po równi pochyłej o kącie
nachylenia α(rys. 7.22). Współczynnik tarcia między masą m2 a równią wynosi µ.
Jaką prędkość kątową ω osiągnie bęben…
… równanie:
1
(m1 + 2m 2 )r 2 ω 2 = ⎡ M − m 2 g(sinα + µcosα )⎤rϕ ,

⎢r
4


skąd
ω=
2 M − m 2 g r (sinα + µcosα )
ϕ.
r
m 1 + 2m 2
(c)
7.4.4. Zasada zachowania energii
Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły
potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. W punkcie 7.1.5
udowodniono, że jeżeli na punkt materialny działa siła potencjalna, to praca
wykonana przez tę siłę…
… do równania (i) oznaczeń:
otrzymamy:
albo ogólnie
U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1
E2 + U2 = E1 + U1
E + U = const.
(7.89)
Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.
Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą.
Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku,
gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są
potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni.
Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii
mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami
zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami
rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem.
Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania
w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy
pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione
odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu.
Przykład 7.13. Cienki jednorodny pręt OA o długości L i masie m może się
obracać bez tarcia wokół osi poziomej prostopadłej do osi pręta przechodzącej…
… między punktami układu materialnego nie ulegają
zmianie, praca sił wewnętrznych będzie równa zeru. Zatem dla bryły sztywnej lub
ciała sztywnego praca sił wewnętrznych jest równa zeru, Lw = 0. W tej sytuacji
zasadę pracy i energii kinetycznej dla bryły sztywnej można zapisać w postaci:
E 2 − E1 = L z .
(7.88)
Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest
równy pracy wykonanej…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz