Ekonomia matematyczna, Ćwięczek, egzamin, testy

W niniejszych materiałach znajdują się zadania dotyczące relacji preferencji, funkcji użyteczności, zbioru budżetowego, konsumpcji w równowadze, własności relacji preferencji, ekonomia Debreu z własnością prywatną, system konsumpcji maksymalizacja użyteczności
pod warunkiem ograniczeń budżetowych, system produkcji - maksymalizacja zysku, suma i różnica algebraiczna zbiorów, stożek, ciągłość korespondecji, optimum społeczne Pareta. W materiałach można również znaleźć przykładowe sprawdziany i egzaminy z ekonomii matematycznej u dr Ćwięczek, a także zbiór teoretycznych zagadnień na egzamin.

Sprawdzian 2. (zestawy przykładowe)  KrDUFr 2009   Zestaw 1  Zad.1. W systemie konsumpcji działa konsument o zbiorze konsumpcji iX  

6
,
1
 ,
1  , a jego 
preferencje reprezentuje funkcja użyteczności postaci:  iiu : X   , ui(x1, x2) = max{x1, x2+1}. 
a) Wyznaczyć (narysować) zbiór planów, które nie są lepsze niż plan (5,1), b) Uzasadnić na podstawie definicji, że relacja preferencji wyznaczona przez daną funkcję użyteczności nie jest słabo wypukła. c) Sprawdzić na podstawie definicji, czy relacja preferencji wyznaczona przez daną funkcję użyteczności jest monotoniczna.  Zad.2. W systemie konsumpcji działa konsument o zbiorze konsumpcji i
2X   

 1
,
0 , a jego 
preferencje reprezentuje funkcja użyteczności postaci:  iiu : X   ,  u i x , x
 x  x  , p = (2,1), 
1
2 
2
1
2i
   ,14. Wyznaczyć wektor konsumpcji w równowadze. 
 Zad.3. W ekonomii E Debreu z własnością prywatną dane są: l=2, I={1,2}, J={1,2}, p=(3,1),
2
2X
   ,
1u x , x  x  2x , x2*= (3,4), e(1)=(2,4), e(2)=(2,13),  2Y  
 y , y   y   y  y  , 
1
2 
2 : 3
3
1
2
1
1
1
2 
2
1 y1*= (1,-2), 
   0. Wyznaczyć (o ile istnieje) stan równowagi dla p= p *
21
22. 
 Zestaw 2  Zad.1. W systemie konsumpcji działa konsument o zbiorze konsumpcji i
2X   

 
5
,
0
, a jego preferencje 
reprezentuje funkcja użyteczności postaci:  iiu : X   , ui(x1, x2) = x1(x2+1) 
a) Wyznaczyć zbiór planów, które są lepsze niż plan (5,1), b) Sprawdzić na podstawie definicji, czy relacja preferencji wyznaczona przez daną funkcję użyteczności jest .monotoniczna, c) Sprawdzić na podstawnie definicji, czy w zbiorze  istnieje konsumpcja nasycona.  2Zad.2. Wyznaczyć konsumpcję maksymalizującą funkcję użyteczności  ui X i
:
 ,  ui x , x  x
 1 x12 2
na zbiorze ograniczeń budżetowych   i  K 0 0 1  2
, ;2
  gdy  X i    . 
 Zad.3. W ekonomii E Debreu z własnością prywatną dane są: l=2, I={1,2}, J={1,2}, p=(2,1),  X 12
  , X 2  0, 
  0, 4 ,  u1 x , x  min 2 ,
 1 , u2 x , x  2  , y2*=(1,2), e(1)=(2,3), e(2) =(1,7) 12 xx12 
 x x12
21
  Y 1  
 y ,y2
 :
 2

 4 
 4 
 3 , 1
 , 3
 .  Wyznaczyć (o ile istnieje) stan 12 yyyy2121
 11 4 12 4
ekonomii, dla p= p *.   

(…)

…)}.
Wyznaczyć relację preferencji danego konsumenta, narysować przykładowe krzywe obojętności oraz wyznaczyć
zbiór planów preferowanych nie bardziej niż plan o konsumpcji c = 2.
Zbiór budżetowy. Konsumpcja w równowadze.
Zad 1. Dane są: X i  1,10 , p  3,1 , oraz majątek wi =12. Wyznaczyć wektor konsumpcji w równowadze, gdy
preferencje konsumenta reprezentuje funkcja użyteczności:
a) ui (x1, x2) = 4, b) ui…
… użyteczności u i : X i   , u i  x1 , x 2   2 x 2 
zbiorze budżetowym 
i
 p, w  dla p = (1,2) oraz 
i
i
 6 ,3 , gdy
1
x1
na
 
a) X i   2 , b) X i     0 ,4 . Podać graficzną ilustrację problemu.

Zad. 2. Narysować przykładowe krzywe obojętności związane z funkcją użyteczności u i : X i   ,
u i  x1 , x 2    x1  x 2 oraz wyznaczyć zbiór budżetowy oraz konsumpcję maksymalizującą…
…] i funkcji użyteczności
1
3
u ( x1 , x 2 ) = ln x1 + ln x 2 osiąga konsumpcję w równowadze x i∗ = (2, 4) . Zdefiniować relację
4
4
preferencji opisaną daną funkcją użyteczności i narysować przykładowe krzywe obojętności.
2) Podać definicję optimum społecznego Pareta w modelu równowagi E oraz wyjaśnić
występujące w niej pojęcia.
3) W modelu Debreu z własnością prywatną określone są następujące dane: l = 2…
…. Narysować przykładowe obojętności związane z funkcją uŜyteczności u : ℜ 2 → ℜ , u ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 − 1 oraz
+
wyznaczyć zbiór budŜetowy i korespondencję popytu i-tego konsumenta, o majątku w i = 14 i zbiorze konsumpcji
ˆ
X i = ℜ + × [0, 5] , gdy p = (1, 2) , p = (2, 2) , ~ = (2, 1)
p
3. Wyznaczyć relację preferencji
i
⊂ X i × X i ( X i = ℜ 2 ) oraz narysować przykładowe krzywe obojętności,
+
jeŜeli…
…)=(1,2),
e(2)=(2,1). Określić optymalne działania jednostek tak, aby ciąg (x 1*, x 2*, y 1*, p * ) był stanem równowagi
ogólnej ekonomii E Debreu dla p= p * .
Zad. 3. W ekonomii E Debreu z własnością prywatną dane są: l=2,I={1}, J={1,2}, p=(1, 1 ), X 1   2 ,

3
u 1  x1 , x 2   3 x1  x 2 , w1=3, Y 1   2 , Y 2 

 y , y   : y
2
1
2
1

 y 2   y1  2 oraz całkowite zasoby
pierwszego towaru  1  1 . Wyznaczyć całkowity zasób drugiego towaru  2  , tak aby ciąg (x 1*, y 1*, y
2*
, p * ) był stanem równowagi ogólnej ekonomii E Debreu dla
p= p * .
Zad. 4. W ekonomii E Debreu z własnością prywatną dane są: l=2,I={1,2}, J={1,2}, p=(2,3), y 1*=(2,-5), x
1*
=(5,5), Y 2   y1 , y 2   2 :2 y1  y 2  y 2  2 , X 2   2  2,0 , u 2  x1 , x 2   2 x1  3 x 2 ,  1  2, 17  ,

3…
… ∧ y 2 ≥ −2} , x i∗ = (i, 2i ) dla i = 1, 2 , X 3 = [0, 10] 2 , e(1) = (1, 7) ,
e(2) = (1, 5) , e(3) = (6, 6) , u 3 ( x1 , x 2 ) = max{x1 − 1, x 2 + 1} oraz Θ11 = Θ 21 = 1 4 . Określić optymalne
działania jednostek tak, by ciąg (( x i∗ ), ( y j∗ ), p ∗ ) był stanem równowagi ogólnej w modelu Debreu, przy
czym p ∗ = p .
Zadania w zbiorze pomarańczowym str. 101 - 107
5
Ekonomia matematyczna – ćwiczenia…
…
Opracowanie: Ilona Ćwięczek – wykład, KrDUFr
Optimum społeczne Pareta
Wprowadzenie.
Zagadnienia optimum społecznego są przedmiotem badań dotyczących ekonomii dobrobytu, którą
traktuje się nie jako empiryczną dyscyplinę ekonomiczną, lecz jako normatywną i związane są
z problemem wyborów, przed jakimi stają grupy społeczne. Wiemy, Ŝe jednostkom moŜna przypisać
indywidualne preferencje, będące podstawą…
… jest ……………………………………………………………..
~
d) całkowite zasoby ekonomii ω ∈ ……………………………………………………………………..
II. Podstawowe twierdzenia ekonomii dobrobytu (Pareto – optymalne własności
stanu równowagi)
Twierdzenia ekonomii dobrobytu określają związki pomiędzy ogólną równowagą konkurencyjną,
a optimum społecznym Pareta. ZauwaŜmy jednak, Ŝe w pojęciu optimum społecznego nie występują
ceny, które są składnikiem pojęcia równowagi konkurencyjnej…
…  jest korespondencją półciągłą z góry  graph  jest zbiorem domkniętym.
Zad. Wskazać na podstawie definicji punkty nieciągłości z góry korespondencji  , jeśli
a)  x, y   x, y   2 : 1  x  3  1  y  3 \ 1,3,
b)  x, y   [0,2]  0,4  2,4 0,2 ,


 y   : x  1  y   x  1 dla x  0,1

dla x   1,0
c)  x    y   :  1  y  0

y  : y  0
dla x  (1,3]


 x, y…
... zobacz całą notatkę