Dyskretne zmienne losowe Wykład 4; 27 lutego 2012 Definicja 1. Zmienn ˛ a losow ˛ a nazywamy dyskretn ˛ a (skokow ˛ a), je´sli zbiór jej warto´sci x 1 , x 2 , . . . , mo˙zna ustawi´c w ci ˛ ag. Zmienna losowa X , która przyjmuje wszystkie warto´sci z zadanego przedziału ( a, b ), nie jest zmienn ˛ a losow ˛ a dyskretn ˛ a, poniewa˙z elementów tego przedziału nie da si˛e ustawi´c w ci ˛ ag ("ponumerowa´c"). - G. Cantor 1873— twierdzenie— wszystkich liczb rzeczywistych nie da si˛e ustawi´c w ci ˛ ag. Rozkład dyskretnej zmiennej losowej Zbiór warto´sci dyskretnej zmiennej losowej X — ci ˛ ag x 1 , x 2 , . . . , (sko´nczony lub nie- sko´nczony). Rozkład zmiennej losowej dyskretnej X jest okre´slony przez nieujemne liczby p 1 , p 2 , . . . spełniaj ˛ ace warunki: pi = 1 , (1) pi = P ( X = xi ) . (2) Dyskretne zmienne losowe— przykłady Przykłady: • Rozkład U, sumy oczek w dwukrotnym rzucie kostk ˛ a (patrz poprzedni wykład); • Rozkład Z , gdzie Z oznacza liczb˛e rzutów monet ˛ a, po której po raz pierwszy wypada orzeł (zdarzeniu polegaj ˛ acemu na tym, ˙ze orzeł wypadnie ju˙z w pierw- szym rzucie, odpowiada warto´s´c zmiennej Z równa 0). z niezale˙zno´sci zdarze´n: P ( Z = k ) = 1 2 k +1 , k = 0 , 1 , 2 , . . . . Zmienna losowa Z przykład dyskretnej zmiennej losowej, dla której zbiór warto´sci: { 0 , 1 , 2 , . . .} nie jest sko´nczony. 1 Rzuty osobiste— przykład Niech X - liczba trafie´n w wykonywanym przez koszykarza A rzucie osobistym.Niech: T odpowiada trafieniu do kosza, C odpowiada chybieniu. Przestrze´n zdarze´n elementarnych: S = {C, T }. Niech X - liczba trafionych rzutów. Zmienna X jest funkcj ˛ a okre´slon ˛ a na S ; X ( C ) = 0 , X ( T ) = 1 . Zakładamy, ˙ze prawdopodobie´nstwo trafienia wynosi 0 , 9 . Rozkład zmiennej losowej X mo˙zna przedstawi´c przy pomocy tabelki: k 0 1 P ( X = k ) 0 , 1 0 , 9 Liczba trafie ´n Y w dwóch rzutach Niech Y - liczba trafie´n w dwóch wykonywanych przez koszykarza A rzutach oso- bistych. Przyjmujemy, ˙ze prawdopodobie´nstwo trafienia w jednym rzucie osobistym wynosi 0 , 9 i zdarzenie trafienia/chybienia w drugim rzucie jest niezale˙zne od analo- gicznego zdarzenia w pierwszym rzucie. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze: P ( Y = 0) = 1 10 2 = 0 , 01 , P ( Y = 1) = 2 × 1 10 × 9 10 = 0 , 18 , P ( Y = 2) = 9 10 2 = 0 , 81 . Liczba trafie ´n Y w dwóch rzutach— c.d. Rozkład mo˙zna przedstawi´c w postaci tabelki lub wykresu słupkowego:
(…)
…- dwumianowy). Korzystajac z polecenia pbinom mozna oblicza´
˛
c
˙
warto´ci dystrybuanty rozkładu Bin(n, p) dla duzych warto´ci n.
s
s
3
Rozkład Poissona
˙
Definicja 4. Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0,
je´li przyjmuje ona warto´ci w zbiorze {0, 1, 2, . . . , } oraz
s
s
P (X = k) = e−λ
λk
,
k!
k = 0, 1, 2, . . . .
˙
Rozkład Poissona moze by´ zastosowany z powodzeniem do opisu…
…
Rozkład dwumianowy
n!
Symbol Newtona n = k!(n−k)! jest równy liczbie podzbiorów k-elementowych zbiok
ru n-elementowego (0 k n).
2
˙
Definicja 2. Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami
n ∈ N i 0 < p < 1, co w skrótowo zapisujemy X ∼ Bin(n, p) (lub X ∼ Bin(n; p)),
je´li
s
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n.
k
„Dziesi˛ ciokrotny rzut moneta”— przykład
e
˛
Niech V…
… pokaza´ równiez, ze dla zmienej losowej Z o rozkładzie Poissona z parametrem
c
λ:
E(Z) = λ oraz V ar(Z) = λ.
0.20
0.10
0.00
0.00
0.10
0.20
0.30
Bin(20;0.6)
0.30
Bin(7;0.6)
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
Rysunek 1: Wykresy słupkowe przedstawiajace rozkłady Bin(7; 0,6) oraz
˛
Bin(20; 0,6)
Wariancja X1 ∼ Bin(7; 0,6): 7 × 0,6 × 0,4 = 1,68 Wariancja X2 ∼ Bin(20; 0,6):
20 × 0,6 × 0,4 = 4,8 X2…
…
1024
=
0,5
10
(0,5)0 =
Poj˛ cie dystrybuanty rozkładu
e
˙
˙ e
W obliczeniach podobnych do tych z poprzedniego przykładu uzyteczne moze si˛ okaza´ poj˛ cie dystrybuanty zmiennej losowej.
c
e
Definicja 3. Niech X b˛ dzie dowolna zmienna losowa. Dystrybuanta zmiennej losowej
e
˛
˛
˛
˛
X nazywamy funkcj˛ F okre´lona jako:
e
s
˛
F (x) = P (X
x).
˙
˙
Uwaga. W powyzszej definicji nie zakładamy, ze zmienna X…
… takich cech jak
c
liczba nasion chwastów w´ród nasion trawy, liczba klientów zgłaszajacych si˛ dziennie
s
˛
e
do banku, liczba wypadków drogowych na placu Grunwaldzkim w danym dniu itd.
Warto´c oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej
s´
Definicja 5. Dla zmiennej losowej dyskretnej X warto´c oczekiwana, je´li istnieje, jest
s´
s
liczba okre´lona wzorem
˛
s
˛
xi pi ,
EX =
i
w którym sumowanie obejmuje…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)