doc, z przedmiotu ekonometria.
Notatka zawiera takie zagadnienia, jak: planowanie i analiza doświadczeń wieloczynnikowych, model dwuczynnikowej analizy wariancji, układy zależne, regresja wielokrotna, regresja wielokrotna i estymacja modelu, układ równań normalnych, przykład układu równań normalnych, rozwiązanie układu równań normalnych, badanie istotności regresji, weryfikacja hipotez o istotności cząstkowej współczynników regresji, problem doboru zmiennych, ocena stopnia dopasowania modelu, regresja krokowa, regresja liniowa.
Notatka pozwoli na usystematyzowanie i uzupełnienie wiedzy z ekonometrii z zakresu doświadczeń wieloczynnikowych.
PLANOWANIE I ANALIZA DOŚWIADCZEŃ WIELOCZYNNIKOWYCH
Dotychczas zajmowaliśmy się dwoma modelami jednoczynnikowej analizy wariancji.
yij = m +ai + eij (1)
yij = m + ai + rj + eij (2)
W modelu (2) dodatkowo z błędu losowego wydzielona została zmienność powtórzeń (replikacji) w celu poprawy wskaźnika precyzji eksperymentu.
W zastosowaniach praktycznych najczęściej badamy wpływ więcej niż jednego czynnika na analizowaną cechę. Modele tego typu będziemy nazywać wieloczynnikowymi analizami wariancji, a sama postać modelu zależy od sposoby zaprojektowania konkretnego eksperymentu badawczego.
Rozważamy sytuację, gdy badamy wpływ czynnika A i czynnika B.
Model dwuczynnikowej analizy wariancji.
yi/k = m + ai +bj + abij + eijk (3)
lub yi/k = mi + bj + abij + rk + eijk (4)
Poszczególne symbole użyte w obu modelach oznaczają odpowiednio:
yij - wartość badanej cechy dla i-tego poziomu czynnika A, j-tego poziomu czynnika B
m - średnia ogólna (generalna)
ai - efekt i-tego poziomu czynnika A
bj - efekt j-tego poziomu czynnika B
abij - efekt interakcji (współdziałania) i-tego poziomu czynnika A z j-tym poziomem czynnika B
rk - efekt k-tej replikacji (powtórzenia)
aij - błąd losowy
Poza tym pojęciem rozumiemy wpływ poziomów jednego czynnika w poziomy drugiego z nich. Rozpatrzmy następny przykład interakcji dwóch czynników na wartości pewnej cechy
INTERAKCJA
A1
A2
B1
30
40
B2
35
45
A1
A2
B1
30
40
B2
35
55
Błąd! Nieprawidłowe łącze.Błąd! Nieprawidłowe łącze.
W przypadku braku interakcji widzimy, że zmiana podziałów czynnika A z A1 na A2 przy obu poziomach czynnika B powoduje taki sam przyrost wartości badanej cechy. W sytuacji istotnej interakcji zmiana poziomów czynnika A z A1 na A2 powoduje niejednakową reakcję badanej cechy. W naszym przypadku mamy dodatkowy przyrost badanej cechy o 10 jednostek.
Przedstawiony w modelach (3) i (4) schemat analizy dwuczynnikowej jest jednym z najprostszych przykładów eksperymentu z krzyżową klasyfikacją czynników w eksperymencie tego typu każdy poziom czynnika A występuje w każdym poziomie czynnika B. Możliwe jest takie zaplanowanie eksperymentu, gdzie poziomy jednego czynnika występują tylko z niektórymi poziomami drugiego czynnika. W takiej sytuacji mówimy o klasyfikacji hierarchicznej. Model (3) dwuczynnikowej analizy wariancji odpowiada tzw.: układowi całkowicie losowemu. Oznacza to, że na replikację nałożony jest tylko jeden warunek: muszą być próbą losową.
(…)
… wektorową).
Dla dwóch zmiennych niezależnych układ równań normalnych można zapisać w postaci:
Przykład układu równań normalnych.
W zapisie macierzowym ten sam układ równań ma postać:
Macierz V jest macierzą kwadratową i nie osobliwą (jej wyznacznik jest różny od zera), tym samym istnieje macierz odwrotna do macierzy V. Dla macierzy odwrotnej do danej macierzy spełniony jest warunek:
Macierz I jest macierzą identyczności, spełnia ona rolę modułu mnożenia w działaniach na macierzach.
ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ NORMALNYCH
Aby rozwiązać równanie macierzowe:
musimy pomnożyć (lewostronnie) obie strony powyższego równania przez macierz odwrotną do macierzy V. Tak więc oceny mierzonych cząstkowych współ. regresji są równe:
a oceny wyrazu wolnego znajdziemy w zależności:
BADANIE ISTOTNOŚCI REGRESJI
Hipotezę o istotności…
… statystyki znajdzie się w odpowiednim obszarze krytycznym.
Tym samym zmienna, przy której stoi weryfikowany cząstkowy współczynnik regresji powinna pozostać w modelu.
I tu pojawia się pewien trudny problem. Jeżeli zmienne niezależne są ze sobą powiązane (macierz V nie jest macierzą diagonalną) , to oceny istotności cząstkowych współczynników regresji nie są
PROBLEM DOBORU ZMIENNYCH
W przypadku istnienia…
… niezależnymi jest najmniejsza. Podejście takie nosi nazwę regresji krokowej, ale przed jej omówieniem wprowadzimy jeszcze miernik dobroci dopasowania modelu.
OCENA STOPNIA DOPASOWANIA MODELU
Miarą stopnia dopasowania modelu może być współczynnik korelacji wielokrotnej R lub jego kwadrat (współczynnik determinacji D).
Można również zdefiniować tzw. współczynnik zbieżności:
mówiąc o tym, jaką część zmienności…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)