Znalazły się w nim definicje oraz wzory dotyczące następujących zagadnień:
ciągłość funkcji, odosobniony punkt nieciągłości, klasyfikacja punktów nieciągłości, własności funkcji ciągłych, pochodna funkcji, różniczkowalność funkcji, pochodna funkcji odwrotnej, pochodna funkcji złożonej, przedstawienie przyrostu funkcji, różniczka funkcji f w punkcie x0, twierdzenie del'Hospitala, asymptoty, twierdzenie Rolle'a, Twierdzenie Lagrange'a, ekstremum funkcji, wklęsłośći i wypukłość funkcji, punkt przegięcia, całka nieoznaczona, własności całki nieoznaczonej, całkowanie przez podstawianie, całkowanie przez części, funkcje wymierne, całka Riemana, całki niewłaściwe.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w x0 jeżeli Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału
ODOSOBNIONY PUNKT NIECIĄGŁOŚCI
Def. Odosobnionym punktem nieciągłości nazywamy punkt x ∈ R, w którym funkcja nie jest ciągła, ale jest ciągła w (sąsiedztwie tego punktu) w pewnym zbiorze (x0 - δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ).
KLASYFIKACJA PUNKTÓW NIECIĄGŁOŚCI
Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica jednostronna.
Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości drugiego rodzaju jeżeli choć jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą.
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
Tw. Jeżeli funkcja ciągła w punkcie x0 spełnia warunek f (x0) > 0 lub f (x0) < 0, to istnieje przedział (x0 - δ, x0 + δ) w którym funkcja przyjmuje wartości (tylko) dodatnie (ujemne).
Tw. Funkcja ciągła w przedziale <a, b> przyjmuje wszystkie wartości leżące pomiędzy f (a) i f (b).
Tw. Funkcja ciągła w przedziale <a, b> przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą i największą.
POCHODNA FUNKCJI
Def. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x0 jeżeli istnieje skończona granica:
Styczna do wykresu y=f(x) w (x0,f(x0)):
y - f(x0) =f' (x0) (x-x0)
RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI
Tw. Funkcja różniczkowalna w punkcie x0 jest w tym punkcie ciągła
Przykład:
Nie istnieje pochodna w punkcie 0!
Tw. Jeżeli f i g są różniczkowalne to:
POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ
Tw. Jeżeli f(x) jest rosnąca (malejąca), istnieje pochodna f `(a) ≠ 0 , jeżeli b= f (a) to f-1 (x) jest różniczkowalna w punkcie b oraz pochodna tej funkcji odwrotnej w punkcie b
Przykład:
POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
Tw. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w punkcie x oraz istnieje pochodna funkcji f w punkcie g(x), to istnieje pochodna funkcji złożonej fog w punkcie x oraz (fog)'(x)=f'(g(x))*g'(x).
Przykład:
Przykład:
(…)
… ∈<0,1>. Załóżmy, że x1, x2 ∈ <0,1>, x1 ≠ x2 i x13 - 3x1 + a = 0
x23 - 3x2 + a = 0
f(x)= x3 - 3x + a
f(x1)=f(x2)=0
niech: x1 < x2 <x1,x2>
f ' (c) = 0
3c2 - 3 = 0 ⇔ c = ± 1
0 ≤ x1 < c < x2 ≤ 1 - sprzeczność
TWIERDZENIE LAGRANGE'A
Tw. Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), to istnieje c ∈ (a,b), taki, że:
Wnioski:
1) funkcja jest funkcją stałą w (a,b) ⇔ f ` (x) = 0 w (a,b)
x1 < x2 ⇒ f…
…)) jest punktem przegięcia funkcji f(x), jeżeli funkcja jest funkcją wklęsłą (wypukłą) w sąsiedztwie lewostronnym Sx-; wypukłą (wklęsłą) w sąsiedztwie prawostronnym Sx+.
CAŁKA NIEOZNACZONA
Def. Funkcję pierwotną funkcji f (x) na przedziale I nazywamy każdą różniczkowalną funkcję F(x) spełniającą warunek F'(x) = f (x)
f (x) = sin x F (x) = -cos x
Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale I ma w tym przedziale…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)