2. Całki wielokrotne i krzywoliniowe
Chemia, II semestr
1
Całki podwójne
• Niech D będzie obszarem płaskim normalnym względem osi Ox tzn. istnieją takie funkcje ϕ i ψ
ciągłe na przedziale a, b , że D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} . Jeżeli funkcja f : D → R
jest ciągła na D to prawdziwy jest wzór:
ψ(x)
b
f (x, y) dx dy =
a
D
ψ(x)
b
f (x, y) dy dx =
a
ϕ(x)
f (x, y) dy.
dx
ϕ(x)
• Analogicznie definiuje się obszar normalny względem osi Oy . Wtedy D daje się przedstawić w
postaci: D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} i zachodzi wzór
δ(y)
d
f (x, y) dx dy =
c
D
δ(y)
d
f (x, y) dx dy =
dy
c
γ(y)
f (x, y) dx
γ(y)
• Jeżeli funkcja podcałkowa jest w obszarze całkowania stała i równa 1, to całka jest równa polu obszaru
dx dy = |D|
całkowania:
D
• Jeżeli funkcja f jest nieujemna i ciągła na obszarze całkowania D, to całka podwójna z funkcji
f po obszarze D jest równa objętości obszaru V znajdującego się w górnej półprzestrzeni pod
powierzchnią o równaniu z = f (x, y), dla (x, y) ∈ D, czyli pod wykresem rozważanej funkcji:
f (x, y) dx dy = |V |
D
• Współrzędne biegunowe: jeżeli całkujemy po obszarze D i na płaszczyźnie Oxy wprowadzimy
współrzędne biegunowe r i ϕ, czyli dokonamy odwzorowania x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, to jeśli ∆
jest obszarem całkowania w tych współrzędnych (jakobian tego przekształcenia J = r). to zachodzi
f (x, y) dx dy =
następujący związek:
D
f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ
∆
Zadania
1. Obliczyć całki podwójne:
e2x−y dx dy,
a)
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,
−1 ≤ y ≤ 0}
D
b)
x dx dy,
D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = 0,
y = 2,
x+y =4
D
c)
2y dx dy,
D jest obszarem ograniczonym krzywymi: xy = 6,
x+y =7
D
2. Na dwa sposoby zamienić całkę podwójną
f (x, y) dx dy na całki iterowane:
D
a) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = x2 − 3,
b) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = x2 ,
y−x=2
c) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = y 2 + 3,
d) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = −1,
y=1
x = 2y 2
x = 1,
y = |x|,
√
y = − 4 − x2
2. Całki wielokrotne i krzywoliniowe
Chemia, II semestr
2
3. Zmienić kolejność całkowania w podanej całce, a następnie policzyć ją:
e
a)
1
dx
1
4
2xey dy
b)
x
dy
y2
dx
c)
√
2
2
x+3
dx
−2
x
1
ln x
3
2x
xdy
d)
arc cos y
0
x2 −3
dx
dy
arc sin y
4. Wprowadzając współrzędne biegunowe, policzyć całki:
ln(x2 + y 2 )
dx dy
x2 + y 2
a)
D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4,
y ≥ 0}
D
dxdy
(1 − x2 − y 2 )2
D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ y,
(x2 + y 2 ) dxdy
b)
D = {(x, y) : y ≤ x2 + y 2 ≤ x,
y ≥ x}
D
c)
y ≥ 0}
D
5. Policzyć pole obszaru D :
a) D = {(x, y) : x + y ≤ 3,
y 2 ≤ 4x
y ≥ 0}
b) D – obszar ograniczony prostymi: x − 2y = 0,
c) D – obszar ograniczony krzywymi: y = ex ,
y = ln x,
d) D – obszar ograniczony krzywymi: x2 + y 2 = 1,
e) D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 2x,
f ) D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 2y,
x − 2y = 3,
y = 2x − 9,
x + y = 1,
x2 + y 2 = 4,
x=2
√
x = 3y,
y = 2x − 6
y=
√
3x
y ≥
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)