2. Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe Chemia, II semestr
1
Całki podwójne
• Niech D będzie obszarem płaskim normalnym względem osi Ox tzn. istnieją takie funkcje ϕ i ψ
ciągłe na przedziale a, b , że D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}. Jeżeli funkcja f : D → R jest
ciągła na D to prawdziwy jest wzór:
ψ(x)
b
f (x, y) dx dy =
a
D
ψ(x)
b
f (x, y) dy dx =
dx
a
ϕ(x)
f (x, y) dy.
ϕ(x)
• Analogicznie definiuje się obszar normalny względem osi Oy. Wtedy D daje się przedstawić w postaci:
D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} i zachodzi wzór
δ(y)
d
f (x, y) dx dy =
c
D
δ(y)
d
f (x, y) dx dy =
dy
c
γ(y)
f (x, y) dx
γ(y)
• Jeżeli funkcja podcałkowa jest w obszarze całkowania stała i równa 1, to całka jest równa polu obszaru
dx dy = |D|
całkowania:
D
• Jeżeli funkcja f jest nieujemna i ciągła na obszarze całkowania D, to całka podwójna z funkcji f po
obszarze D jest równa objętości obszaru V znajdującego się w górnej półprzestrzeni pod powierzchnią
o równaniu z = f (x, y), dla (x, y) ∈ D, czyli pod wykresem rozważanej funkcji:
f (x, y) dx dy = |V |
D
• Współrzędne biegunowe: jeżeli całkujemy po obszarze D i na płaszczyźnie Oxy wprowadzimy współrzędne biegunowe r i ϕ, czyli dokonamy odwzorowania x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, to jeśli ∆ jest obszarem
całkowania w tych współrzędnych (jakobian tego przekształcenia J = r). to zachodzi następujący związek:
f (x, y) dx dy =
D
f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ.
∆
Zadania
1. Obliczyć całki podwójne:
e2x−y dx dy,
a)
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,
−1 ≤ y ≤ 0};
D
b)
x dx dy,
D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = 0, y = 2, x + y = 4;
D
c)
2y dx dy,
D jest obszarem ograniczonym krzywymi: xy = 6, x + y = 7.
D
2. Na dwa sposoby zamienić całkę podwójną
f (x, y) dx dy na całki iterowane:
D
a) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = x2 − 3, y = 1;
b) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = x2 , y − x = 2;
c) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = y 2 + 3, x = 2y 2 ;
√
d) D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = −1, x = 1, y = |x|, y = − 4 − x2 .
2. Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe Chemia, II semestr
2
3. Zmienić kolejność całkowania w podanej całce, a następnie policzyć ją: √
e
a)
1
dx
1
4
y
2xe dy
b)
x
dy
y2
dx
c)
x+3
dx
−2
x
1
ln x
3
2x
2
2
xdy
dx
dy
d)
0
x2 −3
arc cos y
arc sin y
4. Wprowadzając współrzędne biegunowe, policzyć całki:
ln(x2 + y 2 )
dx dy
x2 + y 2
a)
D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4,
y ≥ 0};
D
dxdy
(1 − x2 − y 2 )2
D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ y,
(x2 + y 2 ) dxdy
b)
D = {(x, y) : y ≤ x2 + y 2 ≤ x,
y ≥ x};
D
c)
y ≥ 0}.
D
5. Policzyć pole obszaru D :
a) D = {(x, y) : x + y ≤ 3,
y 2 ≤ 4x
y ≥ 0};
b) D – obszar ograniczony prostymi: x − 2y = 0, x − 2y = 3, y = 2x − 9, y = 2x − 6;
c) D – obszar ograniczony krzywymi: y = ex , y = ln x, x + y = 1, x = 2;
√
√
d) D – obszar ograniczony krzywymi: x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4, x = 3y, y = 3x;
e) D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 2x,
y ≥ x};
√
y ≥
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)