Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe (dodatkowe zadania)

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 546
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe (dodatkowe zadania) - strona 1 Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe (dodatkowe zadania) - strona 2 Całki podwójne, potrójne i krzywoliniowe (dodatkowe zadania) - strona 3

Fragment notatki:

Chemia I sem. Wiesław Zarębski
Całki nieoznaczone
1
Zadania przygotowawcze do pierwszego kolokwium - WYDZIAŁ CHEMII 2 semestr
Zad.1. Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne x(3x2 + xy − 3y 2 )y + (4x2 + xy − 4y 2 )y = 0.
Odp.: y 6 (x + y) = Cx8 (y − x) oraz y = 0, y = x, y = −x.
3u2 − u − 3
dx
Wskazówka: doprowadza się do postaci
du =
; w rozkładzie na ułamki proste
u(u − 1)(u − 2)
x
3u2 − u − 3
A
B
C
= +
+
wyliczamy A = 3, B = −1/2, C = 1/2.
u(u − 1)(u − 2)
u
u−1 u+1
Zad.2.
dy
y
x
2t
x

= tg (Uwaga: sin x =
, gdzie t = tg .)
2
dx sin x
2
1+t
2
Zad.3. (trudne) Rozwiązać równanie różniczkowe: y + 2y tg x = ay 2 ctg x.
Odp.: 2Ky = 2 cos2 x + ay(2 ln | sin x| − sin2 x) oraz y = 0.
Zad. 3,5. Rozwiązać równanie różniczkowe, sprawdziwszy że jest ono równaniem zupełnym:
x2 − 2x2 y
xy − 2xy 2
a) arc tg(xy) +
dx +
dy = 0.
1 + x2 y 2
1 + x2 y 2
Odp.: x arc tg(xy) − ln(1 + x2 y 2 ) = C.
y
x + 2y
dx +
dy = 0.
b)
2
(x + y)
(x + y)2
y
Odp.: ln |x + y| −
= C.
x+y
y2
x2
1
1

dx +

dy = 0.
c)
2
2
x (x − y)
(x − y)
y
xy
x
Odp.:
+ ln
= C.
x−y
y
dy
x
x
y
1
+ ctg y + tg x −

d)
+
= 0.
2
2x
cos
y 2 − x2
y y 2 − x2 sin y dx
x
Odp.: y tg x + x ctg y + arc sin
=C
|y|
Zad.4. Wiadomo, że pierwiastkami równania charakterystycznego równania różniczkowego liniowego o stałych
(rzeczywistych) współczynnikach są: 1, 1, 2, 3 + i, 3 + i, 3 − i, 3 − i. Napisać rozwiązanie ogólne tego równania.
Odp.: y = C1 ex + C2 xex + C3 e2x + C4 e3x cos x + C5 e3x sin x + C6 xe3x cos x + C7 xe3x sin x.
Zad.5. Rozwiązać równanie różniczkowe y − 2y + y =
ex
x2
Odp.: y = K1 + K2 x − ln |x| ex .
(1 − x)2
(trudne).
(1 + x2 )2
x2 − 2x + 1 x
2x
1
Odp.: y = arc tg x + K1 + K2 e−x . Wskazówka: C2 (x) = −
e =
− 2
ex ; jeden ze
2 + 1)2
2 + 1)2
(x
(x
x +1
składników przekształcić przez części, całka która nie da się obliczyć – redukuje się z drugim składnikiem.
Zad. 5a. Rozwiązać równanie różniczkowe y + y =
Zad.6. Rozwiązać metodą przewidywań równanie y + 3y = (13x − 15) cos 2x + sin 2x.
Odp.: y = (3x − 4) cos 2x + (2x − 3) sin 2x + C1 e−3x .
Zad.7. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe y + 4y = 24x + 8 cos 2x + 3 cos x.
Odp.: y = 3x2 − x cos 2x + sin x + C1 + C2 cos 2x + C3 sin 2x.
Chemia I sem. Wiesław Zarębski
Całki nieoznaczone
2
Zad.7a. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe y + y = 3x2 + 2 sin x + 6 cos 2x.
Odp.: y = x3 − 6x − x sin x − sin 2x + C1 + C2 cos x + C3 sin x.
Zad. 7b. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe y (4) + 2y + y = cos x.
1
Odp.: y = − x2 cos x + (C1 + C2 x) cos x + (C3 + C4 x) sin x.
8
Odpowiedzi do niektórych zadań występujących w zestawach ćwiczeniowych, być może nie przerobionych na ćwiczeniach:
y − 9x2 y + 3(x5 − x2 ) 3 y 2 = 0
3
1
3
Odp.: y = z 3 = Cex + x3 ; y = 0.
3
(x + 1)y + x(y )2 = y , y(0) = 2, y (0) = 2 (bez warunków początkowych byłoby bardzo żmudne)
Odp.: y = ln(x2 + 1) + 2 arc tg x.
y = −y tg x + sin 2x
1
Odp.: y = −x − sin 2x + C1 sin x + C2 .
2
xy − y ln
y
=0
x
Odp.: y = eCx+1
1
1
x− 2
C
C
+ D,
y = E,
1 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz