To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Tadeusz Świrszcz, Matematyka - wykład, rok ak.2011/2012
1
1. Definicja całki nieoznaczonej i podstawowe metody całkowania
1.1.
DEFINICJA. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale A. Mówimy, że F : A → R jest
funkcją pierwotną funkcji F w A, jeśli F (x) = f (x) dla x ∈ A. Rodzinę wszystkich funkcji
pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem
f (x) dx.
1.2.
TWIERDZENIE. Jeśli F (x) = f (x) i G (x) = f (x) w przedziale A, to istnieje stała C ∈ R taka,
że G(x) = F (x) + C dla x ∈ A.
1.3.
Jeśli więc F jest jakąkolwiek ustaloną funkcją pierwotną funkcji f , to
f (x) dx = {F (x) + C : C ∈ R}.
Zapisujemy to zazwyczaj w postaci
f (x) dx = F (x) + C.
1.4.
Bezpośrednio ze wzorów na pochodne otrzymujemy następujące całki:
xa dx =
1
xa+1 + C
a+1
ex dx = ex + C,
√
1.5.
sin x = − cos x + C,
dx
= arc sin x + C,
1 − x2
TWIERDZENIE. Jeśli istnieje
f (x) dx i
f (x) dx, to dla dowolnego a ∈ R
f (x) dx.
g(x) dx,
(f (x) + g(x)) dx =
1.6.
f (x) dx +
g(x) dx.
TWIERDZENIE (Całkowanie przez części).
f (x)g(x) dx = f (x)g(x) −
1.7.
cos x = sin x + C,
dx
= arctg x + C.
1 + x2
af (x) dx = a
Jeśli istnieją
1
dx = ln |x| + C,
x
dla a = −1,
f (x)g (x) dx.
TWIERDZENIE (Całkowanie przez podstawienie).
f (g(x))g (x) dx =
f (z) dz,
gdzie z = g(x). Jeśli ϕ(t) jest funkcją odwracalną, to
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ (t) dt,
Tadeusz Świrszcz, Matematyka - wykład, rok ak.2011/2012
2
gdzie t = ϕ−1 (x).
1.8.
1
Przykład. Podstawiając z = x2 otrzymujemy dz = 2x dx, dx = 2 dz,
√
1.9.
1
x dx
=
2
1 − x4
√
dz
= arc sin z + C = arc sin(x2 ) + C.
1 − z2
Przykład. Podstawiając x = a sin t, gdzie − π
2
a2 − a2 sin2 t a cos t dt = a2
a2 − x2 dx =
=
=
a2
2
π
2,
t
otrzymujemy
cos2 t dt =
a2
2
1
a2
a2
sin t
sin 2t + t + C =
(sin t cos t + t) + C =
2
2
2
a2
2
x
a
1−
x
a
2
x
x
+ arc sin + C =
a
2
a2 − x2 +
(cos 2t + 1) dt =
1 − sin2 t + t + C =
a2
x
arc sin + C.
2
a
2. Całkowanie funkcji wymiernych
2.1.
DEFINICJA. Funkcjami wymiernymi nazywamy funkcje postaci
f (x) =
P (x)
,
Q(x)
gdzie P (x) i Q(x) są wielomianami. Szczególnymi przypadkami funkcji wymiernych są ułamki
proste. Funkcja postaci
A
,
(ax + b)n
gdzie a = 0 i n jest liczbą naturalną, nazywa się ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. Funkcja
postaci
Ax + B
,
(ax2 + bx + c)n
gdzie a = 0, ∆ = b2 − 4ac
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)