To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 11 i 12: Całka oznaczona: metody obliczania, zastosowania semestr zimowy; rok akademicki 2012/2013 Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1. Załózmy, ˙ze funkcja f jest ci ˛ agła na przedziale [ a, b ]. Całk˛e oznaczon ˛ a z funkcji ci ˛ agłej f na przedziale [ a, b ] definiujemy wzorem b a f ( x ) dx = lim n→∞ b − a n n k =1 f a + ( k − 1) b − a n . (1) Korzystaj ˛ ac z wprowadzonej notacji, pole „trójk ˛ ata parabolicznego” mo˙zna wyrazi´c nast˛epuj ˛ aco: 1 0 x 2 dx. Obliczanie całek - wielomiany Niech W ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + anxn . W ( x ) dx = a 0 x + a 1 2 x 2 + a 2 3 x 3 + . . . + an n + 1 x n +1 + C Obliczanie całek - funkcje wykładnicze Dla b = 0: e btdt = 1 b e bt + C Całka iloczynu funkcji wykładniczej i wielomianu xe xdx = xex − e xdx = xex − ex + C, x 2 exdx = x 2 ex − 2 xe xdx = ex ( x 2 − 2 x + 2) + C. Post˛epuj ˛ ac podobnie: obliczamy całki xmexdx , m = 3 , 4 , . . . . Komentarz: całkowanie to raczej sztuka ni˙z „automatyczne” stosowanie kilku reguł obliczeniowych. Całkowanie funkcji wymiernych Dla funkcji f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) , gdzie P i Q s ˛ a wielomianami, całk˛e f ( x ) dx mo˙zemy obliczy´c korzystaj ˛ ac z metod przedstawionych w ksi ˛ a˙zce K. Kura- towskiego w podrozdziale 9.4. Algorytm obliczania całek f (sin x ) dx , f (cos x ) dx itd. mo˙zna znale´z´c w podrozdziale 9.6 tej ksi ˛ a˙zki. Przykłady całek nieoznaczonych, których nie mo˙zna obliczy´c przy u˙zyciu standardowych metod Nast˛epuj ˛ acych całek nie da si˛e przedstawi´c za pomoc ˛ a funkcji elementarnych e −x 2 dx, sin(cos x ) dx. Uwaga. Przybli˙zon ˛ a warto´s´c całki oznaczonej b a sin(cos x ) dx dla zadanych a i b mo ˙zemy obliczy´c przy u˙zyciu metod numerycznych, dost˛epnych w systemach algebry symbolicznej i pakietach numerycznych. O tym - podczas nast˛epnego wykładu. 1 Zastosowania całki oznaczonej— pole trapezu krzywoliniowego Figur˛e ograniczon ˛ a: wykresem funkcji f, gdzie f jest funkcj ˛ a ci ˛ agł ˛ a i nieujemn ˛ a na przedziale [ a, b ] , prostymi x = a, x = b oraz prost ˛ a y = 0 b˛edziemy nazwywa´c trapezem krzywoliniowym. x y y = f (x) 0 a b Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy Zastosowania całki oznaczonej— obliczanie pola figur Chcemy obliczy´c pole figury ograniczonej przez: wykres funkcji
(…)
…— obliczanie pola figur— c.d.
y
y =
0
1
x
b
1
x
Rysunek 2: Logarytm naturalny liczby b > 1 jako pole trapezu krzywoliniowego odpowiadajacemu funkcji f (x) =
˛
odcinkowi [1, b].
2
1
x
i
Zastosowania całki oznaczonej— droga przebyta przez punkt materialny
˙
Punkt materialny porusza si˛ z pr˛ dko´cia v(t) = cos t. Chcemy znale´ c s(T ), połozeniu punktu w czasie T = π.
e
e s ˛
z´
˙
Zakładamy, ze s(0) = 0.
Mamy
π…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)