Całka oznaczona - metody obliczania, zastosowania

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1113
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Całka oznaczona - metody obliczania, zastosowania - strona 1 Całka oznaczona - metody obliczania, zastosowania - strona 2 Całka oznaczona - metody obliczania, zastosowania - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 11 i 12: Całka oznaczona: metody obliczania, zastosowania semestr zimowy; rok akademicki 2012/2013 Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1. Załózmy, ˙ze funkcja  f  jest ci ˛ agła na przedziale [ a, b ]. Całk˛e oznaczon ˛ a z funkcji ci ˛ agłej f  na przedziale [ a, b ] definiujemy wzorem b a f  ( x ) dx  = lim n→∞ b − a n n k =1 f a  + ( k −  1) b − a n . (1) Korzystaj ˛ ac z wprowadzonej notacji, pole „trójk ˛ ata parabolicznego” mo˙zna wyrazi´c nast˛epuj ˛ aco: 1 0 x 2 dx. Obliczanie całek - wielomiany Niech  W  ( x ) =  a 0 +  a 1 x  +  a 2 x 2 +  . . .  +  anxn . W  ( x ) dx  =  a 0 x  + a 1 2 x 2 + a 2 3 x 3 +  . . .  + an n  + 1 x n +1 +  C Obliczanie całek - funkcje wykładnicze Dla  b  = 0: e btdt  = 1 b e bt  +  C Całka iloczynu funkcji wykładniczej i wielomianu xe xdx  =  xex − e xdx  =  xex − ex  +  C, x 2 exdx  =  x 2 ex − 2 xe xdx  =  ex ( x 2  −  2 x  + 2) +  C. Post˛epuj ˛ ac podobnie: obliczamy całki xmexdx ,  m  = 3 ,  4 , . . . . Komentarz: całkowanie to raczej sztuka ni˙z „automatyczne” stosowanie kilku reguł obliczeniowych. Całkowanie funkcji wymiernych Dla funkcji f  ( x ) = P  ( x ) Q ( x ) , gdzie  P  i  Q  s ˛ a wielomianami, całk˛e f  ( x ) dx  mo˙zemy obliczy´c korzystaj ˛ ac z metod przedstawionych w ksi ˛ a˙zce K. Kura- towskiego w podrozdziale 9.4. Algorytm obliczania całek f  (sin  x ) dx , f  (cos  x ) dx  itd. mo˙zna znale´z´c w podrozdziale 9.6 tej ksi ˛ a˙zki. Przykłady całek nieoznaczonych, których nie mo˙zna obliczy´c przy u˙zyciu standardowych metod Nast˛epuj ˛ acych całek nie da si˛e przedstawi´c za pomoc ˛ a funkcji elementarnych e −x 2 dx, sin(cos  x ) dx. Uwaga. Przybli˙zon ˛ a warto´s´c całki oznaczonej b a  sin(cos  x ) dx  dla zadanych  a  i  b  mo ˙zemy obliczy´c przy u˙zyciu metod numerycznych, dost˛epnych w systemach algebry symbolicznej i pakietach numerycznych. O tym - podczas nast˛epnego wykładu. 1 Zastosowania całki oznaczonej— pole trapezu krzywoliniowego Figur˛e ograniczon ˛ a: wykresem funkcji  f,  gdzie  f  jest funkcj ˛ a ci ˛ agł ˛ a i nieujemn ˛ a na przedziale [ a, b ] ,  prostymi  x  =  a, x  =  b  oraz prost ˛ a  y  = 0 b˛edziemy nazwywa´c trapezem krzywoliniowym. x y y = f (x) 0 a b Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy Zastosowania całki oznaczonej— obliczanie pola figur Chcemy obliczy´c pole figury ograniczonej przez: wykres funkcji 

(…)

…— obliczanie pola figur— c.d.
y
y =
0
1
x
b
1
x
Rysunek 2: Logarytm naturalny liczby b > 1 jako pole trapezu krzywoliniowego odpowiadajacemu funkcji f (x) =
˛
odcinkowi [1, b].
2
1
x
i
Zastosowania całki oznaczonej— droga przebyta przez punkt materialny
˙
Punkt materialny porusza si˛ z pr˛ dko´cia v(t) = cos t. Chcemy znale´ c s(T ), połozeniu punktu w czasie T = π.
e
e s ˛

˙
Zakładamy, ze s(0) = 0.
Mamy
π…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz