Całka nieoznaczona - podstawowe wzory

Nasza ocena:

5
Pobrań: 42
Wyświetleń: 3584
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Całka nieoznaczona - podstawowe wzory - strona 1 Całka nieoznaczona - podstawowe wzory - strona 2 Całka nieoznaczona - podstawowe wzory - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 9: Całka nieoznaczona 5 grudnia 2012 Motywacja Problem 1. Kropla wody o ´srednicy 0 , 07 mm porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛ a v ( t ) = g c (1  − e −ct ) , gdzie g  oznacza przy´spieszenie ziemskie, a stała  c  = 52 , 6 1 s  została wyznaczona eksperymentalnie. W chwili t  = 0 pr˛edko´s´c jest równa 0 . Chcemy znale´z´c drog˛e s ( t ), jak ˛ a przebyło ciało po upływie czasu t . Pr˛edko´s´c małej kropli 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 t v(t) Rysunek 1: Pr˛edko´s´c kropli o ´srednicy 0 , 07 mm w zale˙zno´sci od czasu Funkcja pierwotna Problem sprowadza si˛e do znalezienia funkcji  s ( t ) takiej, ˙ze s  ( t ) =  v ( t ) , t ∈  (0 , ∞ ) . (1) Definicja 1 (funkcji pierwotnej). Funkcja  F  jest funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f  na przedziale otwartym  I , je´sli F  ( x ) =  f  ( x ) dla ka˙zdego  x ∈  I . Uwaga Je˙zeli funkcja  f  jest okre´slona na przedziale domkni˛etym [ a, b ], to  F  nazywamy funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji  f  , je˙zeli F  ( x ) =  f  ( x ) dla  x ∈  ( a, b ) , F +( a ) =  f  ( a ) , F− ( b ) =  f ( b ) . Funkcja pierwotna — przykłady Przykład 1. Funkcjami pierwotnymi  f  ( x ) =  x 3 na przedziale  I  = R s ˛ a na przykład: •  F 1( x ) = x 4 4 + 2; •  F 2( x ) = x 4 4  −  3 . Twierdzenie 1. Niech  F  b˛edzie funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f  na przedziale  I . Wtedy (i) G ( x ) =  F  ( x ) +  C , gdzie  C ∈  R, jest funkcja pierwotn ˛ a funkcji f  na  I , (ii) ka˙zd ˛ a funkcj˛e pierwotn ˛ a funkcji f  na  I  mo˙zna przedstawi´c w postaci  F  ( x ) +  D , gdzie  D ∈  R. Uwaga. Powy˙zsze twierdzenie mówi o postaci funkcji pierwotnych dla ustalonej funkcji. Funkcje pierwotne maj ˛ a posta´c  F  ( x ) +  C Twierdzenie 2. Je˙zeli funkcja jest ci ˛ agła na przedziale, to ma funkcj˛e pierwotn ˛ a na tym przedziale. Uwaga. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi by´c funkcj ˛ a elementarn ˛ a, np. pierwotna funkcji: f  ( x ) =  e −x 2 nie jest funkcj ˛ a elementarn ˛ a. Uwaga Poj˛ecie funkcji elementarnej zostało okre´slone podczas wykładu 2-go (por. Definicja 15) 1 Całki nieoznaczone Definicja 2 (całki nieoznaczonej). Niech  F  b˛edzie funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f  na przedziale  I . Całk ˛ a nieoznaczon ˛ a funkcji f  na przedziale I  oznaczamy zbiór funkcji {F  ( x ) +  C  :  C ∈  R } . Całk˛e nieoznaczon ˛ a funkcji  f  oznaczamy przez f  ( x ) dx. Całka oznaczona — notacja

(…)

… = x sin x + cos x + C.
2
Całkowanie przez podstawienie- podstawienie liniowe
Twierdzenie 5. Je´li
s
f (t)dt = F (t) + C,
to
1
F (ax + b) + C.
a
f (ax + b)dx =
˙
Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej funkcji złozonej:
[F (ax + b)] = aF (ax + b) = af (ax + b).
Przykłady. Z twierdzenia 5 wynika:
1
(i) cos mx dx = m sin mxdx + C,
1 −2x
−2x
(ii) e
dx = − 2 e
+ C.
˙
Twierdzenie 6 (o całkowaniu…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz