Wykład 4
Całka nieoznaczona
W poniższym rozdziale zajmować się będziemy całkami nieoznaczonymi i oznaczonymi Riemanna. Zaczniemy od definicji.
Definicja 4.0.1. Niech f : (a, b) → R. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną
funkcji f , jeżeli F jest różniczkowalna i F = f .
Łatwo zauważyć, że jeżeli funkcja posiada funkcję pierwotną, to posiada ich od
razu nieskończenie wiele. Istotnie, jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f ,
to funkcja F + c, gdzie c ∈ R, też jest funkcją pierwotną funkcji f . Możemy teraz
zdefiniować całkę nieoznaczoną.
Definicja 4.0.2. Niech f : (a, b) → R. Jeżeli funkcja f posiada funkcję pierwotną
to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną i
oznaczamy przez
f (x)dx
lub
f dx
.
1
Istnieją funkcje, które nie posiadają funkcji pierwotnych, a tym samym całki
nieoznaczonej. Wykorzystując twierdzenie o funkcjach pochodnych poszczególnych
funkcji dostajemy
Twierdzenie 4.0.1.
•
0dx = C
•
adx = ax + C dla a ∈ R i x ∈ R
•
xn dx =
xn+1
n+1
+ C dla n ∈ N i x ∈ R
•
xn dx =
xn+1
n+1
+ C dla n ∈ Z i x ∈ R \ {0}
•
xa dx =
xa+1
a+1
+ C dla a ∈ R i x ∈ (0, +∞)
•
ax dx =
ax
ln(a)
+ C dla a ∈ (0, +∞) i x ∈ R
•
ex dx = ex + C dla x ∈ R
•
1
dx
xln(a)
•
1
dx
x
•
sin(x)dx = −cos(x) + C dla x ∈ R
•
cos(x)dx = sin(x) + C dla x ∈ R
•
1
dx
cos2 (x)
= tg(x) + C dla x ∈ R \ { π + kπ}, k ∈ Z
2
•
1
dx
sin2 (x)
= −ctg(x) + C dla x ∈ R \ {kπ}, k ∈ Z
•
√ 1
dx
1−x2
= arcsin(x) + C dla x ∈ (−1, 1)
•
√ 1
dx
1−x2
= −arccos(x) + C dla x ∈ (−1, 1)
•
1
dx
1+x2
= arctg(x) + C dla x ∈ R
•
1
dx
1+x2
= −arcctg(x) + C dla x ∈ R
= loga (x) + C dla a ∈ (0, +∞) \ {1} i x ∈ (0, +∞)
= ln(x) + C dla x ∈ (0, +∞)
2
Wyznaczanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem funkcji. Funkcję pierwotną z ustaloną wartością c nazywamy całką szczególną, a F (x) + c - całką ogólną.
Z własności pochodnych dostajemy
Twierdzenie 4.0.2. Jeżeli funkcje f, g : (a, b) → R posiadają całkę nieoznaczoną
to:
• ( f (x)dx) = f (x)
•
(f + g)dx = f dx + gdx
•
af dx = a f dx dla każdego a ∈ R
Wnioskiem z reguły różniczkowania iloczynu funkcji jest nastepujące
Twierdzenie 4.0.3 (Twierdzenie o całkowaniu przez części). Niech f, g :
(a, b) → R będą różniczkowalne. Wówczas
f · gdx = f g −
f · g dx
.
Analogicznie, wnioskiem z reguły różniczkowania funkcji złożonej jest
Twierdzenie 4.0.4 (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie). Niech
f : (a, b) → R, g : (c, d) → (a, b) będą różniczkowalne. Wówczas
f (g(x)) · g (x)dx =
.
3
f (x)dx (g(x))
Wykład 5
Całka oznaczona
Mając powyższe twierdzenia i własności, możemy przejść do sformułowania całki
oznaczonej Riemanna. Załóżmy, że f : [a, b] → R oraz mamy podział przedziału
(a, b): a = x0 a funkcja f jest
całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [a, b] oraz istnieje skończona granica
limb→+∞
b
a
f (x)dx, to wartość tej granicy nazywamy całką niewłaściwą Riemanna
funkcji f w przedziale [a, +∞) i oznaczamy
+∞
f (x)dx
a
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale
(−∞, b]. Jeżeli opisana w definicji granica nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Definicja 5.0.7. Niech f : R → R. Jeśli istnieje c ∈ R takie, że całki
c
−∞
+∞
c
f (x)dx i
f (x)dx istnieją, to określamy całkę niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale
(−∞, +∞) jako
+∞
−∞
c
+∞
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
−∞
c
7
Gdy w przedziale występuje punkt osobliwy dr
(…)
…−1 (1 − t)y−1 dt
0
nazywamy funkcją B Eulera.
Związek pomiędzy funkcjami Γ i B wyznacza
Twierdzenie 5.0.11.
B(x, y) =
9
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
Bibliografia
[1] Chądzyński J., (1994), Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, WUŁ,
Łódź.
[2] Krasiński T., Analiza matematyczna - funkcje jednej zmiennej, WUŁ, Łódź.
[3] Mostowski A., Stark M. (1974), Algebra liniowa, PWN, Warszawa.
[4] Opial Z. (1976), Algebra wyższa, PWN, Warszawa.
[5] Palczewski A. (2004), Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa.
[6] Pelczar A., Szarski J. (1987), Wstęp do teorii równań różniczkowych, PWN,
Warszawa.
[7] Rasiowa H. (1971), Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa.
[8] Rudin, W. (2001), Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa.
10
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)