Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych

1 ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA  SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH Spis treści 1. Zależności pomiędzy analizą częstotliwościową sygnałów  analogowych i dyskretnych 2. Definicja i własności dyskretnej transformacji Fouriera 3. Analiza częstotliwościowa dyskretnych obrazów 2 Dyskretna transformacja Fouriera ang.  D iscrete  F ourier  T ransform  DFT 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 sygna ł czas 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 widmo amplitudowe częstotliwość 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -0.5 0 0.5 1 widmo fazowe częstotliwość 3 Trochę historii Baron Jean Baptiste Joseph  FOURIER (1768-1830) Z wyróżnieniem ukończył szkolę wojskową w  Auxerre. Został nauczycielem Ecole Normal a potem  Politechniki w Paryżu. Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w  wyniku ekspedycji z 1798 roku. Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.  Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816  roku został sekretarzem Akademii Nauk a następnie  jej członkiem w 1817. W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21  tomowy Opis Egiptu. Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku  pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do  analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami  trygonometrycznymi pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na  transformację całkową.  4 Geneza transformacji sygnału jednowymiarowego ∫ − = T t f j a a dt e t s f s 0 2 ) ( ) ( ˆ π ) ( ) ( t n s n s a Δ = Δ Wprowadźmy dyskretyzację n N = − 0 1 1 , ,..., ∑ − = Δ − Δ Δ ≈ 1 0 2 ) ( ) ( ˆ N n t n f j a e n s t f s π Δ t  T N = − / ( ) 1 0 1 2 3 4 5 6 7 ) ( n s Δ Widmo impulsu analogowego gdzie: Wartość całki oznaczonej aproksymujemy „metodą prostokątów” N  - ilość próbek gęstość dyskretyzacji gdzie  T  jest czasem trwania sygna łu. 5 Dyskretyzacja w dziedzinie częstotliwości f k f k  = Δ { } 2 / ) 1 ( , 2 / ) 3 ( , ... , 2 / ) 3 ( , 2 / ) 1 ( − − − − − − ∈ N N N N k 2 / 2 1 2 / ) 1 ( p m N f f N t N f =

(…)

… tylko jedną
z ośmiu możliwości przedstawionych na poniższym rysunku.
( )
Im w k
Np. dla N=8
1
−
2
=
=−
( )
1
j
−
2
2
= −
1
+
2
=
1
+
2
j
2
Re w k
j
2
j
2
20
Macierzowy zapis przykładu
Gęstość próbkowania wynosi Δt = 0,001 [ s] . Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
T
s = [2 1 0 1 2 1 0 1] ?
Udowodnimy, że sygnał zawiera składową stałą i drgania o okresie 4 [ms],
czyli o częstotliwości f = 250[ Hz]
=
1
−
2
j
2…
… przykładu
Wyliczamy
T
ˆ
s = [8 0 4 0 0 0 4 0]
Próbkowanie częstotliwości
1
Δf =
= 125[ Hz ]
N Δt
Sygnał ma składową stałą i drgania o częstotliwości
2 Δf = 250 [ Hz ]
Szerokość widma wynosi
f max = f 4 = 500 [ Hz]
czyli jest równa częstotliwości Nyquista.
22
Dwuwymiarowa transformacja Fouriera jako
geneza dyskretnej transformacji obrazów
Widmo częstotliwościowe obrazu analogowego zdefiniowane jest wzorem…
… )
= s Δ ( n)
k
⎧0
=⎨
⎩N
5
w8
dla m ≠ n
dla m = n
wN = e
2π
−j
N
6
w8
)
7
w8
8
0
w8 = w8 = 1
4
8
w
(
Re w k (m − n )
3
8
w
w =e
2
8
−j
π
2
w8 = e
−j
π
4
8
)
Przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
sΔ = [1 0 − 1 0 1 0]T
jeśli gęstość próbkowania wynosi
Δt = 10 −3[ s ] ?
Sygnał posiada N=6 próbek. Spodziewamy się, że reprezentuje drgania
kosinusoidalne o okresie
τ = 4 Δt = 4 ⋅ 10 −3 [ s…
… musi uwzględniać założenia tw. Shanona
i wynikać z powyższych założeń. Otrzymamy zatem dwa warunki
f ( N −1) / 2
f ( N −1)/ 2
N −1
=
< fm = f p / 2
2Δt N
N −1
=
Δf
2
a z nich wynika
Δf =
1
1
=
N Δt T + Δt
5
Prototyp DFT
Przybliżone wartości widma analogowego
N −1
ˆ
sa ( f ) ≈ Δt ∑ sΔ (n) e − 2π j f nΔt
n =0
obliczamy dla wybranych częstotliwości
otrzymując
N −1
f k = k Δf =
ˆ
ˆ
sa ( f k ) ≈ sΔ (k ) = Δt ∑ sΔ (n…
... zobacz całą notatkę