Algorytm Levinsona - wykład

Algorytm Levinsona.
Mając dane:
-Funkcję kowariancji C(0), C(1), C(n), C(n+1) stacjonarnego sygnału y,
-współczynniki an,1,… an,n optymalnego filtru prognozującego rzędu n,
-błąd średnio kwadraturowy rzędu n
Wówczas prawdziwe są następujące zależności rekurencyjne
= +ρn+1 Gdzie:
n+1=C(n+1)*1+C(n)*an,1+..+C(1) an,n ρn+1=- przy czym 1- WSP. Schura.
Oraz:
= (1-ρ2n+1) (zatem  )
Unormowany algorytm Levinsona.
W przypadku unormowanego algorytmu Levinsona dokonuje się podstawień („unormujemy” rozwiązania w przód i w tył).
; tj. współczynniki podstawień stanowią rezultat podstawień
; Przy czym:
- wielkości unormowane
Wprowadzamy oznaczenie:
Wielkość wyraża się jako:
Ostatecznie unormowana wersja algorytmu Levinsona
Realizacja kaskadowego filtru Levinsona.
Realizacja pojedynczej sekcji filtru Levinsona.
Realizacja kaskadowa filtru Levinsona
Czwórnik pobudzony sygnałem 1 daje na wyjściu odpowiednio:
- transmitancję optymalnego filtru prognozującego w przód,
- transmitancję optymalnego filtru prognozującego w tył.
Algorytm Levinsona , sygnał innowacyjny i problem wybielania sygnału .
Filtracja innowacyjna sygnału Y
Sygnał losowy jest scentrowany jest asymptotycznie nieskorelowany C(k) = Ey(t)y(t-k) 0 gdy k ∞
Stąd wniosek , że każdy sygnał losowy można ( z dokładnością do ξ ) traktować jako sygnał o skończonym czasie skorelowania .
Dla sygnału o skończonym czasie skorelowania n
E ξn(t) ξn(t-k) = 0 , dla k=1,2
Nieskorelowanie błędu prognozy wynika z warunków optymalności estymatora , oraz ze skończonego czasu skorelowania sygnału .Nieskorelowanie błędu prognozy oznacza , że ξn(t) jest szumem białym . Sygnał y(t) o widmowej gęstości mocy Wy i o skończonym czasie skorelowania jest przekształcony przez filtr innowacyjny w szum biały . Dlatego filtr innowacyjny jest nazywany również filtrem wybielającym . Skoro filtr innowacyjny o transmitancji An(Z) przeksztalca sygnał o widmowej gęstości mocy. Wy w szum biały , to szum biały podany na wejście filtru odwrotnego o transmitancji An-1 będzie dawał na wyjściu sygnał (x)

(…)

… białym . Sygnał y(t) o widmowej gęstości mocy Wy i o skończonym czasie skorelowania jest przekształcony przez filtr innowacyjny w szum biały . Dlatego filtr innowacyjny jest nazywany również filtrem wybielającym . Skoro filtr innowacyjny o transmitancji An(Z) przeksztalca sygnał o widmowej gęstości mocy. Wy w szum biały , to szum biały podany na wejście filtru odwrotnego o transmitancji An-1…
... zobacz całą notatkę