Algebra - zestaw 1

ZESTAW 1 1. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ WYRAZU HETEROLOGICZNY , WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA TEJ TRUDNOŚCI.
Autorem antynomii wyrazu `heterologiczny' był Grelling.
Antynomia = sprzeczność wewnętrzna.
Heterologiczny - wyraz `w' jest heterologiczny wtedy i tylko wtedy, gdy `w' nie jest w.
np. Wyraz „kreda” nie jest kredą. Wyraz „rzeczownik” jest rzeczownikiem.
Czy wyraz „heterologiczny” jest heterologiczny?
„Heterologiczny” jest heterologiczny wtw. gdy „heterologiczny” nie jest heterologiczny. Czyli zapisując podane zdanie jako funkcję: , co oczywiście jest sprzecznością (nie może coś być i jednocześnie nie być). Dla uniknięcia takich paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji (wielopoziomowa struktura języka). nie wolno mieszać poziomów języka 2. SFORMUŁOWAĆ PROBLEM PEŁNOŚCI KRZ ORAZ UZASADNIĆ, ŻE REGUŁA ODRYWANIA NIE WYPROWADZA POZA ZBIÓR TAUTOLOGII. Dla rachunku zdań istnieje twierdzenie o pełności, które mówi: każda teza KRZ jest twierdzeniem tego rachunku, czyli schematem tautologicznym i odwrotnie, każdy schemat tautologiczny jest teza KRZ (to co prawdziwe jest dowodliwe, a to co dowodliwe jest prawdziwe). Każde twierdzenie posiada dowód, a teza jest twierdzeniem.[Pełność - teoria jest teorią pełną jeżeli każde twierdzenie tej teorii posiada dowód.] Każda formuła, która posiada dowód jest twierdzeniem. Rachunek zdań jest systemem dedukcyjnym pełnym. Cn(ø)=T=E(M) T - zbiór twierdzeń M=({0,1) , Λ , ν , ~ , υ , ƒ ) - algebra Boole'a M E(M) : ={AcF; Λ f:Zm→{0,1}, w f (A)=1} - zbiór wszystkich tautologii algebry Boole'a M f:Zm→{0,1} - funkcja wartościowania zmiennych w f : F →{0,1} - funkcja wartościowania formuł Reguła odrywania, pozwala, by w danej tautologii implikacyjnej (tzn. mającej budowę zdania implikacyjnego) oderwać następnik implikacji, pod warunkiem, że poprzednik tej implikacji również jest tautologią rachunku zdań. W gruncie rzeczy odrywamy od większej tautologii tautologię mniejszą, którą jest poprzednik implikacji. Na przykład z tautologii (p → q), jeśli p jest również tautologią, odrywamy q i traktujemy to q jako nową zupełnie tautologię. I jeśli to q ma również postać tautologii implikacyjnej, której poprzednik jest tautologią, to odrywanie następnika można powtórzyć. Na przykład z następującego wyrażenia, które jest prawem rachunku zdań: ... zobacz całą notatkę