Algebra zadania- podgrupy normalne i Sylowa

1 Algebra zadania - podgrupy normalne i Sylowa 2012 1. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych podzbior´ ow A, B grupy multypikatywnej G zachodzi aA = B ⇔ A = a−1B. 2. Czy H = {id, (1, 2)} jest podgrupa normalna S3? 3. Udowodnij, ˙ze 3Z : 12Z jest grupa izomorficzna z Z4. Podobnie dla 8Z : 48Z i Z6. 4. Wyka˙z, ˙ze je´sli H jest podgrupa grupy G i indeks H w G jest r´ owny 2, w´ owczas H jest podgrupa normalna. 5. Niech G = Z4 ⊕ Z ∗ 4, H =, K =. Wyka˙z, ˙ze grupy G : H i G : K nie sa izomorficzne (cho´ c K i H izomorficzne sa). 6. Wyka˙z, ˙ze je´sli podgrupy H ≤ G i K ≤ G sa sprze˙zone, w´ owczas ich normalizatory tak˙ze. 7. Wyka˙z, ˙ze je´sli H ≤ G, gdzie G jest pewna grupa w´ owczas (a) H jest podgrupa normalna NG(H) (b) Je´sli H jest podgrupa normalna grupy K, K ≤ G w´ owczas K ⊂ NG(H). 8. Znajd´ z wszystkie 3-podgrupy Sylowa grupy S4 i sprawd´z, ˙ze rzeczywi´scie sa sprze˙zone (tak jak to nam m´ owi twierdzenie Sylowa). 9. Wypisz elementy grupy D3. Wyka˙z, ˙ze D3 ma jedna 3-podgrupe. Uza- sadnij, ˙ze ta 3-podgrupa jest normalna. Wska˙z trzy 2-podgrupy D3. Czy kt´ ora´s z nich mo˙ze by´ c normalna? ... zobacz całą notatkę