Egzamin z Matematyki w roku akademickim 2007/2008 Zestaw A 1) W zbiorze 2 A = ℜ \ {( , 0 0)} określone jest działanie wewnętrzne „ o ”: x o y = ( x , x ) o ( y , y ) = ( x y − x y , x y + x y ) . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 Sprawdzić na podstawie definicji, czy struktura ( , A o) jest grupą abelową. 2) Wyznaczyć reprezentację macierzową (w bazach kanonicznych) homomorfizmu liniowego 3 3 T : ℜ → ℜ przestrzeni wektorowych z działaniami naturalnymi, o którym wiadomo, Ŝe T , 1 ( , 1 0) = , 8 ( − , 3 0) , T , 1 ( , 0 ) 1 = ( , 6 − , 2 ) 1 oraz T ( , 0 , 1 ) 1 = ( , 2 − , 1 ) 1 . Wyznaczyć (o ile istnieje) przekształcenie odwrotne do homomorfizmu T. ∞ n n 2 3) Zbadać, czy szereg ∑ (− ) 1 jest warunkowo zbieŜny. n n = 1 1 + 4) Określić przedziały wklęsłości i wypukłości oraz wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji 1 f ( x ) = ln(2 − x ) 5) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 4 4 2 2 f ( x , y ) = x + y − 2 x + 4 xy − 2 y oraz sprawdzić na podstawie definicji, czy generują one przestrzeń wektorową 2 ℜ z działaniami naturalnymi. π 6) Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami: y = arccos x , y = arcsin x , y = 2 0 dla x
(…)
… ciągłym? Dla wyznaczonej wartości k, narysować wykres gęstości, zdefiniować
dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć i zinterpretować odchylenie standardowe (wartość
oczekiwana jest równa 2).
8) Rzucamy pięć razy monetą i kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę
wyrzuconych orłów.
a) Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych i jej wymiar;
b) Zdefiniować zmienną losową, określić…
… + 4 y = 5m ]
jest relacją równowaŜności. Czy ϕ jest praporządkiem? Wyznaczyć zbiór {x ∈ Z : 3 ϕ x}
∞
2) Zbadać, czy szereg
∑ (−1)
n =1
n
n
jest zbieŜny warunkowo.
2n − 1
3) Dla jakich wartości parametru a ∈ ℜ , T : ℜ 2 → ℜ 3 , T ( x1 , x 2 ) = (3x1 + x 2 , x1 + (a − 2) x 2 , x1 + x 2 + a )
jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych z działaniami naturalnymi? Dla wyznaczonego a
oraz zbioru wektorów V = {v1 = (1, 2), v 2 = (0, − 1), v3 = (−1, 1)} , sprawdzić, na podstawie definicji oraz
twierdzenia Kroneckera-Capelliego, czy zbiór T (V ) jest bazą przestrzeni (ℜ 3 , ℜ, ⊕, ∗) .
4) Określić przedziały monotoniczności, wyznaczyć ekstrema lokalne oraz asymptoty pionowe wykresu
funkcji f ( x) = ( x + 1)
x +1
5) Wyznaczyć ekstrema funkcji f ( x, y ) =
+∞
6) Zbadać zbieŜność całki
1 2
+ przy warunku x ⋅ y = 8
2x y
1
∫ x ⋅ arcctg x dx
0
7) Rzucamy trzy razy kostką do gry i kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę
wyrzuconych „szóstek”.
a) Opisać przestrzeń probabilistyczną, zdefiniować zmienną losową i podać jej rozkład;
b) Obliczyć i zinterpretować wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe;
c) Zdefiniować dystrybuantę i narysować jej wykres.
8) Wiek (w latach…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)