2007_2008_termin1

Nasza ocena:

5
Pobrań: 84
Wyświetleń: 707
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
2007_2008_termin1 - strona 1 2007_2008_termin1 - strona 2

Fragment notatki:


Egzamin z Matematyki w roku akademickim 2007/2008  Zestaw A  1)  W zbiorze   2 A  = ℜ \ {( , 0 0)} określone jest działanie wewnętrzne „ o ”:  x  o  y  = ( x  ,  x  ) o (  y  ,  y  ) = ( x y  −  x y  ,  x y  +  x y  ) .  1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 Sprawdzić na podstawie definicji, czy struktura  ( , A  o)  jest grupą abelową.    2)  Wyznaczyć reprezentację macierzową (w bazach kanonicznych) homomorfizmu liniowego  3 3 T  : ℜ → ℜ   przestrzeni wektorowych z działaniami naturalnymi, o którym wiadomo, Ŝe   T  , 1 ( , 1 0) = , 8 ( − , 3 0) ,  T  , 1 ( , 0 ) 1 = ( , 6 − , 2 ) 1 oraz   T  ( , 0 , 1 ) 1 = ( , 2 − , 1 ) 1 . Wyznaczyć (o ile istnieje) przekształcenie odwrotne do  homomorfizmu  T.     ∞ n n 2 3)  Zbadać, czy szereg  ∑ (− ) 1   jest warunkowo zbieŜny.  n n = 1 1 +   4)  Określić przedziały wklęsłości i wypukłości oraz wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji   1 f  ( x ) =   ln(2 −  x ) 5)  Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji  4 4 2 2 f  ( x ,  y ) =  x  +  y  − 2 x  + 4 xy  − 2  y   oraz sprawdzić na podstawie  definicji, czy generują one przestrzeń wektorową  2 ℜ  z działaniami naturalnymi.    π 6)  Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami:   y  = arccos  x ,  y  = arcsin  x ,  y  =   2   0 dla x 

(…)

… ciągłym? Dla wyznaczonej wartości k, narysować wykres gęstości, zdefiniować
dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć i zinterpretować odchylenie standardowe (wartość
oczekiwana jest równa 2).
8) Rzucamy pięć razy monetą i kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę
wyrzuconych orłów.
a) Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych i jej wymiar;
b) Zdefiniować zmienną losową, określić…
… + 4 y = 5m ]
jest relacją równowaŜności. Czy ϕ jest praporządkiem? Wyznaczyć zbiór {x ∈ Z : 3 ϕ x}

2) Zbadać, czy szereg
∑ (−1)
n =1
n
n
jest zbieŜny warunkowo.
2n − 1
3) Dla jakich wartości parametru a ∈ ℜ , T : ℜ 2 → ℜ 3 , T ( x1 , x 2 ) = (3x1 + x 2 , x1 + (a − 2) x 2 , x1 + x 2 + a )
jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych z działaniami naturalnymi? Dla wyznaczonego a
oraz zbioru wektorów V = {v1 = (1, 2), v 2 = (0, − 1), v3 = (−1, 1)} , sprawdzić, na podstawie definicji oraz
twierdzenia Kroneckera-Capelliego, czy zbiór T (V ) jest bazą przestrzeni (ℜ 3 , ℜ, ⊕, ∗) .
4) Określić przedziały monotoniczności, wyznaczyć ekstrema lokalne oraz asymptoty pionowe wykresu
funkcji f ( x) = ( x + 1)
x +1
5) Wyznaczyć ekstrema funkcji f ( x, y ) =
+∞
6) Zbadać zbieŜność całki
1 2
+ przy warunku x ⋅ y = 8
2x y
1
∫ x ⋅ arcctg x dx
 
0
7) Rzucamy trzy razy kostką do gry i kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę
wyrzuconych „szóstek”.
a) Opisać przestrzeń probabilistyczną, zdefiniować zmienną losową i podać jej rozkład;
b) Obliczyć i zinterpretować wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe;
c) Zdefiniować dystrybuantę i narysować jej wykres.
8) Wiek (w latach…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz