To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw 9.
Macierze (cz. II)
Zadanie 1. Policzy´ wyznaczniki nastepujacych macierzy:
c
¾
¾
2
2
3
2
3
1
2
1 0
1 x x2
6 0
2 5
4 2 5, b) 4 1 y y
a) 4 1
, c) 6
4 3
3
2 5
1 z z2
2
2
3
2
3
1 0 0 0
1
0
0
6 0 0 1 0 7
7
sin
cos 5, e) 6
d) 4 0
4 0 1 0 0 5, f)
0
cos
sin
0 0 0 1
Zadanie 2. Uzasadni´ , ze wyznaczynik macierzy A 2 Rn
c ·
nieparzystych jest liczba parzysta.
¾
¾
Zadanie 3. Niech Wn ; Vn 2 Rn
n
1
1
2
3
2
n
6
6
6
6
4
2
0
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
3
0
3 7
7,
4 5
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
(dla n 1) o wyrazach
, n 2 N. Wykaza´ , ze
c ·
a)
5
2
0
.
.
.
.
.
.
0
df
det Wn =
3
..
.
..
.
..
.
..
.
0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
..
.
..
.
.
..
.
0
.
.
.
.
.
.
.
..
.
0
..
.
3
5
..
.
0
2
= 3n+1
2n+1 ;
b)
4
1
df
det Vn+2 =
0
.
.
.
.
.
.
0
1
..
.
..
.
..
.
.
.
.
0
..
.
..
.
..
.
..
.
.
..
..
.
..
.
0
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
0
..
.
1
4
..
..
.
0
.
1
= 4 det Vn+1
det Vn ,
oraz det V1 = 4; det V2 = 15.
Zadanie 4. Nie obliczajac wyznaczników znale´ ´ rozwiazania podanych równa´ z
¾
zc
¾
n
niewiadoma x 2 R:
¾
a)
c)
1+x
1
1 1
2
2
2 2
4
6 x 4 4
6
6
6 x
1
.
.
.
x0
.
.
.
1 xn
1
x
x2
0
.
.
.
1
x2 1
n
x2
= 0,
:::
xn
0
.
..
.
.
.
: : : xn 1
n
:::
xn
b)
x2
1
1
1
4
x2
1
4
4
9
9
9
x2
3
3
3
3
= 0,
= 0; gdzie xi 6= xj dla i; j = 0; : : : ; n
1
1:
3
7
7
7 .
7
5
Zadanie 5. Obliczy´ wyznacznik macierzy A 2 Rn
c
n
spe÷ acych równanie:
niaj ¾
a) A2 = AT ,
b) AT
2
c) A + A
3
d) A
1
A
1
= 0,
= 0,
1
4A
= 0.
Zadanie 6. Pokaza´ , ze wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów
c ·
¾
stojacych na przekatnej.
¾
¾
Zadanie 7. Wyznaczy´ macierz odwrotna do macierzy:
c
¾
1 0
2 1
b)
c) 4 2 1
4 1
1 0
2
3
2
a 0 0
1
0
cos
e) 4 0 b 0 5 f) 4 0
0 0 c
0
sin
a c
b d
a)
d)
2
1+i
0
1
2
3
1
1 5
2
3
0
sin 5 .
cos
Zadanie 8. Pokaza´ , ze macierza odwrotna do macierzy trójkatnej górnej (dolnej)
c ·
¾
¾
¾
jest macierz trójkatna górna (dolna).
¾
Zadanie 9. Niech A 2 Rn
n
. Sprawdzi´ , czy
c
AT A = I ) AAT = I.
Zadanie 10. Liczby 1798; 2139; 3255, 4867
nacznik
1 7
2 1
3 2
4 8
dziela sie przez 31. Uzasadni´ , ze wyz¾ ¾
c ·
9
3
5
6
8
9
5
7
równiez dzieli sie przez 31.
¾
·
Zadanie 11. Niech A; B; C 2 Rn
a) A
1 T
b) (ABC)
1
= AT
1
=C
1
n
. Wykaza´ , ze1
c ·
,
B
1
A
1
,
c) jezeli A; B sa ortogonalne, to
¾
·
i. AB jest macierza ortogonalna,
¾
¾
ii. B 1 istnieje i jest macierza ortogonalna.
¾
¾
Zadanie 12. Z dowolna macierza kwadratowa A 2 Rn n mozna skojarzy´
¾
¾
¾
c
·
df
odwzorowanie wA ( ) = det ( I A). Wykaza´ , ze
c ·
a) odwzorowanie wA jest wielomianem stopnia n zmiennej ,
b) macierz A jest pierwiastkiem wielomianu macierzowego
wA : Rn
n
3 X ! wA (X) 2 Rn
n
.
1 W podpunktach a) oraz b) równo´ c nale z y rozumie´ w ten sposób, z e je z eli istnieje macierz stojaca
s´
c
¾
·
· ·
po jednej stronie równo´
sci, to istnieje równiez macierz stojaca po drugiej stronie i obie macierze sa
¾
¾
·
sobie równe.
2
Odpowiedzi
Zadanie 1: a) 43; b) (y
x) (z x) (z y) ; c) 71; d)
(…)
…) (z y) ; c) 71; d) 1; e)
p
1;
5; 3; c) x0 ; : : : ; xn 1 ;
Zadanie 4: a) 0; 2; 6; b)
n
Zadanie 5: a) 0; 1; b)
1; c) ( 1) ; d)
1; f) 8;
2n=2 ;
Zadanie 6: Wskazówka: dowód indukcyjny ze wzgledu na wymiar macierzy;
¾
Zadanie 7:
d
a)
d)
ad bc
b
ad bc
1
2i
1
2
0
2
2 0
1=2 1=2
; b)
;
c) 4 3 1
2
1
1 0
3
2
2 1
0 0
1
0
1
a
4i
; e) 4 0 1 0 5 ; f) 4 0 cos
b
0 sin
0 0 1
c
c
ad bc
a
ad bc
1
4
1
2
jAj6=0
Zadanie 9…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)