Zastosowania rachunku macierzy i układów równań

Zagadnienia poruszone w notatce to: modelowanie algebraiczne, modelowanie przepływów międzygałęziowych,
programowanie liniowe- optymalny plan produkcji, własności rozwiązać optymalnych zagadnienia programowania liniowego. Dodatkowo: rozdzielanie równań przy pomocy macierzy, wartości własne macierzy i diagonalizacja. Do każdego z poruszonych tematów jest wiele przykładów przybliżających dane zagadnienie.

Zastosowania rachunku macierzY i układów równań
i.Modelowanie algebraiczne
Przykład 1. Koszyk zakupów.
Konsument dokonuje wyboru spośród k koszyków zakupów z l oferowanymi dobrami. Zakup może nastąpić w każdym sklepie, których jest m w aglomeracji. Niech kolumna o numerze q macierzy [ bpq ]l×k reprezentuje q- ty koszyk zakupów oraz niech r- ty wiersz macierzy [arp]n×l przedstawia ceny tych produktów w p-tym sklepie, to element crq macierzy będącej iloczynem [ arp ] [ bpq ] opisuje wartość cenową q-tego koszyka zakupów w r -tym sklepie.
Przykład 2. Portfel akcji.
Inwestor przeznaczył na zakup papierów wartościowych obarczonych ryzykiem kwotę 100 tys. zł. Ogranicza swój wybór do tych portfeli akcji, które powinny dać spodziewaną roczną stopę zwrotu w wysokości 20% przy nie przekroczeniu ryzyka na poziomie 15%. Na podstawie analizy technicznej wytypował trzy różne papiery wartościowe o stopach zwrotu i ryzyku przedstawionym w tabeli:
Rodzaj akcji
Wymagana stopa zwrotu
[%]
Kalkulowane ryzyko
[%]
I.
24
20
II.
10
12
III.
20
10
Przy zapisaniu przez x1,x2,x3 kwot przeznaczonych ( w tys. zł) na zakupy poszczególnych akcji można sformułować układ równań:
W rozwiązaniu powyższego układu równań pomija się ujemne udziały x1,x2, x3
UWAGA! W Teorii Portfela taki model z ujemnymi udziałami akcji w portfelu polega na uwzględnieniu tzw. „krótkiej sprzedaży”.
Ponadto w praktycznym rozwiązaniu układu równań i wyznaczeniu udziałów kwotowych należy uwzględnić fakt, że koszt pojedyńczej akcji jest liczbą (wymierną) dodatnią. Stąd może pojawić się potrzeba zaokrągleń rozwiązań i „niezupełne” wykorzystanie kwoty x1+x2+x3. Przykład 3. Asortyment produkcji
Zakład produkuje 3 wyroby z jednego typoszeregu technologicznego. „Wąskim gardłem” w technologii jest pakowalnia, gdzie można dziennie zapakować 2000 wyrobów w dowolnym asortymencie. Do produkcji zużywa się surowiec w ilościach:
Wyrób
I.
II.
III.
Masa surowca, na 1 sztukę wyrobu w kg
0,2
0,25
0,3
Łączna ilość surowca, którą można dostarczyć dziennie do produkcji i zużyć wynosi 550 kg. Ponadto w zakładzie 3 ciągi technologiczne (produkujące I -szy, II -ugi, III -ci wyrób) zużywają energię w ilościach: 100 Watów, 120 Watów, 150 Watów. Łączne dopuszczalne zużycie energii dziennie wynosi: 250000 Watów. Jak dobrać w planie produkcji udziału wyrobów x1, x2, x3 aby zakład w pełni zużywał surowiec, energię i wykorzystywał pakowalnię. Model to układ równań:

(…)

…. Odpowiada to teoretycznemu przechodzeniu z do granicy +∞ w równaniu (14). Stąd otrzymujemy oznaczając wartość graniczą przez zg (punkt równowagi - punkt stały odwzorowania).
(16)
Równanie (16) można zapisać w postaci macierzowej równania w formie:
(17)
Rozwiązanie równania (17) istnieje, choć niekoniecznie musi być jednoznaczne.
Przykład.1.
Przyjmijmy macierz przejścia w postaci:
Jednakże det(P-I)=0…
… potraktować jako konstruowanie i analizę modelu liniowego pozwalającego na podejmowanie optymalnych w sensie przyjętego kryterium decyzji.
Ogólnie zapiszmy model matematyczny w zagadnieniu programowania liniowego w postaci:
Decyzja optymalna (optymalizacja funkcji celu)
(1)
Decyzje dopuszczalne: (2)
Warunki brzegowe (więzy) :
; (3)
Przyjmujemy ponadto ograniczenia: bj≥0 ; j=1,2,....m
Wprowadzając zapis…
… bazowych.
Jeżeli rozwiązanie optymalne jest przyjmowane w dwóch różnych wierzchołkach, to jest przyjmowane na całym odcinku łączącym te wierzchołki.
Kombinacja liniowa rozwiązań optymalnych jest rozwiązaniem optymalnym.
Procedurę wyznaczania rozwiązania optymalnego można ująć w postaci następującego algorytmu:
Wyznaczenie rozwiązań układu (5) w postaci kanonicznej.
Wyznaczenie wszystkich rozwiązań…
... zobacz całą notatkę