Zasada zachowania pędu II

doc.

Tematyka notatki to zasada zachowania pędu II. Kwestie poruszone w pliku: układy o zmiennej masie, zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej. Dodatkowo treść uzupełniona jest o wzory i przykłady zadań.

Wykład 10
Zasada zachowania pędu II
Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się układami, których masa zmienia się podczas obserwacji.
Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek poniżej).
Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością vs względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość spalin względem rakiety vwzg. jest dana zależnością
vwzgl = vs - v (10.1)
Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z prędkością v0 to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym
(10.2)
Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu
(10.3)
Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do postaci
(10.4)
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę siły ciągu.
Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne Fzew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas Fzew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć Fzew. Np. rakieta Saturn 5 o masie ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN.
Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000 kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów względem rakiety jest równa 1500 m/s. więc
F = 1500·150 = 2.25·105 N
Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skierowana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·105 N minus ciężar rakiety (1.5·105 N). Po zużyciu paliwa wynosi 2.25·105 N - 0.5·105 N = 1.75·105 N.
Zderzenia
Wstęp
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazywamy siłami impulsowymi. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "dotykać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa (

(…)

… np. w ciepło lub energię potencjalną deformacji.
Przykład 1
Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron (m1) w zderzeniu centralnym z jądrem atomowym (m2) będącym w spoczynku?
Początkowa energia kinetyczna: Końcowa energia kinetyczna: Względne zmniejszenie energii kinetycznej:
Ponieważ dla takiego zderzenia:
więc
dla ołowiu m2 = 206 m1 więc dla węgla m2 = 12 m1 więc dla wodoru m2 = m1…
… rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron: Σ = π- + n.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:
można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele…
… z bardzo ciężką (spoczywającą) np. piłka uderza o ścianę.
wreszcie sytuacja odwrotna m2 << m1.
Wtedy u1 ≅ v1 oraz u2 ≅ 2v1.
Prędkość cząstki ciężkiej (padającej) prawie się nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderzamy je z sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając…
… więc Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowalniaczem (a nie ołów).
Przykład 2
Wahadło balistyczne.
Służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się z bloku drewnianego o masie M, wiszącego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, mający prędkość poziomą v, wbija się w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiącym w nim pociskiem…
... zobacz całą notatkę