Zamiana problemu z niejednorodnymi warunkami brzegowymi na problem równorzedny z jednorodnymi warunkami brzegowymi-projekt 1 z metod obliczeniowych

Projekt ma 27 stron i zawiera elementy takie jak: obliczenia, metoda Rayleigha-Ritza, ogólne wzory, wykres, metoda Bubnowa-Galerkina, rozwiązanie numeryczne, metoda elementów skończonych.

Zamiana problemu z niejednorodnymi warunkami brzegowymi na problemrównorzedny z jednorodnymi warynkami brzegowymi
 
3
x
7.05y''(x) + (9.70x - 0.48) y (x)
=
8.36e - 3.62x
(1)
y' ( 5
- .13)
= 5.60
- problem z niejednorodnym i warunkam ibrzegowym i
y ( 4
- .26)
= 5.78
 
y (x) = u(x) + yo (x)
 
Przyjm ijm y wiec ze  yo (x) = ax + b
y'o ( 5
- .13)
= 5.60
yo ( 4
- .26)
= 5.78
Po rozwiazaniu ukladu rownan otrzym ujemy: 
a = 5.60
i
b = 29.636
yo (x) = 5.60x + 29.636
y (x) = u(x) + 5.60x + 29.636
(2)
y' (x) = u' (x) + 5.60
y'' (x) = u'' (x)
W ten sposób otrzym ana zaleznosc (2) wstawiamy do równania (1) i otrzym am problem  brzegowyz jednorodnymi warunkami brzegowym i:
x
3
x
8.36e - 3.62x - (9.70x - 0.48) (5.60x + 29.636) expand , x
 

0
- .932x + 8.36e +
2
- 87.4692
3
x
4
3
7.05u''(x) + (9.70x - 0.48) u(x)
= 8.36e - .9320x - 54.3200 x - 287.46920x + 14.22528
u' ( 5
- .13)
= 0
u( 4
- .26)
= 0
1. Metoda Rayleigha-Ritza
Ogólne wzory:1
Au = f
I(u) =
(u , A
  u) - (u , f
  )
2
x
4
3
f(x) =
8.36e - .9320x - 54.3200 x - 287.46920x + 14.22528
2
d
3
A
=
(9.70x - 0.48)
2
+
dx
b
1 
3
I(u) =

u 7
 .05u'' + (9.70x - 0.48) u dx +
2 a
b

x
4
3

-
u(8.36e - .9320x - 54.3200 x - 287.46920 x + 14.22528) dx
a
Rozwiazania bedziemy szukac w przestrzeni energii
HA co wymaga calkowania przez czesci.
b
1 
3
2
I(u) = 3.525uu' +

7
- .05u'u' + (9.70x - 0.48) u dx +
2 a
b

x
4
3
- 
u(8.36e - .9320x - 54.3200 x - 287.46920 x + 14.22528) dx
a
Uwzgledniajac warunki brzegowe czlon 3.525uu' = 0
Przyjm ujemy nastepnie trzy funkcje bazowe spelniajace jednorodny podstawowy warunekbrzegowy.
ORIGIN  0
a :=
5
- .13
i := 0 .. 2
j := 0 .. 2
b :=
4
- .26
 x + 4.26 


2
ϕ(x) :=  x + 4.26x 


3
2
 x + 4.26x  d


ϕ(x)0 
0
dx
 


 


ϕ(b) = 0
d
 
ϕ'(x) := 
ϕ(x)1 
dx
 0 




d

ϕ(x)2 
 dx

1


1






ϕ'(x)
2 x + 4.26
 

ϕ'(a) =
6
-



2

 3 x + 8.52x 
 35.243 
Wówczas u = ϕc , o
  raz
b


1


T
T
3
T
T

 
 7
- .05c ϕ' ϕ' c + (9.70x - 0.48) c ϕ ϕc dx + +
I(u) =
2



 a

b

T
T
x
4
3

-
c ϕ (8.36e - .9320x - 54.3200 x - 287.46920x + 14.22528)
a
Korzystajac z warunku na m inimum funkcjonalu
d I(x) = 0dc
Szukam y nieznanych wspólczynników c
b

T
3
T

 7
- .05ϕ' ϕ' + (9.70x - 0.48) ϕ ϕ dxc +

(…)

…  u ( x) - 8.36  e - .9320  x - 54.3200  x - 287.46920  x + 14.22528
b

 w  7.05  u'' + 9.70  x3 - 0.48  u - 8.36  ex - .9320  x - 54.3200  x4 - 287.46920  x3 + 14.22528



(
)
(
a
w(x) - funkcja wagowa
przyjmujem y aproksymacje dla u(x)
u(x) = ϕ  c
oraz aproksymacje dla w(x)
w(x) = ϕ  d
Funkcje bazowe musza spelniac podstawowe i jednorodne warunki brzegowe
 x2



+ 5.13  x…
... zobacz całą notatkę