To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ćwiczenie 12
WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI
METODĄ DYNAMICZNĄ
Cel ćwiczenia: Wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu
sztywności przez pomiar sprężystych drgań obrotowych.
Zagadnienia: siły międzycząsteczkowe w ciałach stałych, sprężystość,
rodzaje odkształceń, prawo Hooke'a, moduły sprężystości, sprężyste
drgania obrotowe – związek kąta skręcenia z momentem siły; związek
modułu sztywności z momentem kierującym.
12.1. Wprowadzenie
Pojęcie
sprężystości:
siły
międzycząsteczkowe;
odkształcenia; prawo Hooke'a – omówiono w ćwiczeniu 10.
naprężenia,
12.1.1. Wyprowadzenie wzoru na kąt skręcenia
Rysunek 10.9
(ćwiczenie 10)
przedstawia
cylindryczny
pręt,
zamocowany sztywno na jednym końcu, skręcony o kąt ### przez moment
M pary sił F, –F, przyłożonych do jego drugiego końca. Wyobraźmy sobie
w tym pręcie cylindryczny, równoległy do osi element (rurkę) o promieniu
ρ i grubości dρ (rys. 12.1). Siły dF, –dF działające stycznie na jego (dolną)
powierzchnię dS = 2πρdρ wywołają naprężenie styczne
dF
τ =2
.
(12.1)
2πρdρ
Rezultatem będzie odkształcenie ścinające, powodujące, że tworząca rurki
przejdzie w linię śrubową nachyloną do swojego poprzedniego położenia
1
pod kątem α. Zgodnie z prawem Hooke'a : α = τ / G . Dolna powierzchnia
rurki zostanie tym samym skręcona w stosunku do górnej o kąt ϕ .
(Powstanie tego skręcenia może nam ułatwić rysunek 10.7b. Ciało,
narysowane przed ścinaniem linią ciągłą a po – linią przerywaną,
wyobraźmy sobie jako cienką płytkę, powstałą z przecięcia rurki wzdłuż
tworzącej i rozwiniętą na płaszczyznę. Zwińmy ją z pow-rotem w rurkę.)
s = BB′ oznacza na rysunku 12.1 łuk odpowiadający skręceniu o ϕ i
równocześnie ścięciu o α. Dla małych wartości α i ϕ mamy α = s / l oraz
ϕ = s / ρ skąd po wyeliminowaniu s otrzymujemy
α=
Rys. 12.1. Skręcenie jako skutek
odkształcenia ścinającego
ϕρ
.
l
Podstawiając (12.1) oraz (12.2) do
prawa Hooke'a (10.7) można
otrzymać wyrażenie na siłę dF
πρ 2 dρGϕ
dF =
,
l
a stąd, po pomnożeniu przez ###,
moment siły dM z 2dFρ
2πGϕ 3
dM z
ρ dρ .
l
Całkowity moment siły działający
na cały pręt otrzymamy całkując
(12.4) w granicach (0, r)
πGr 4
(12.5)
ϕ .
2l
Indeks z przypomina, że jest to moment sił zewnętrznych, przyłożonych do
pręta. Jemu przeciwdziała równy co do wartości i kierunku (wzdłuż osi
pręta) lecz przeciwny co zwrotu moment wewnętrznych sił sprężystości.
Tak więc dla momentu sił sprężystych, jako skutku skręcenia pręta o kąt ϕ
Mz =
mamy ostatecznie
2
M =−
πGr 4
ϕ .
2l
(12.6)
12.1.2. Harmoniczne drgania obrotowe
Jeżeli na ciało znajdujące się w położeniu równowagi trwałej i mogące
wykonywać względem tego położenia tylko ruchy obrotowe działa moment
siły wprost proporcjonalny do kąta wychylenia
z tego położenia,
a zwrócony zawsze tak, aby temu wychyleniu przeciwdziałać,
M = − Dϕ ,
(12.7)
to, jak wiadomo z teorii drgań, ciało to będzie pod jego wpływem
wykonywało obrotowe drgania harmoniczne. Podstawiając bowiem –
zgodnie z drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego − M = Id 2ϕ / dt 2
(…)
…
Całkowity moment siły działający
na cały pręt otrzymamy całkując
(12.4) w granicach (0, r)
πGr 4
(12.5)
ϕ .
2l
Indeks z przypomina, że jest to moment sił zewnętrznych, przyłożonych do
pręta. Jemu przeciwdziała równy co do wartości i kierunku (wzdłuż osi
pręta) lecz przeciwny co zwrotu moment wewnętrznych sił sprężystości.
Tak więc dla momentu sił sprężystych, jako skutku skręcenia pręta o kąt ϕ
Mz =
mamy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)