Wykład - wytrzymałość materiałów belki

LINIE WPŁYWOWE W BELKACH
LINIE WPŁYWOWE SIŁ W BELKACH CIĄGŁYCH
Dla zadanej belki wyznaczyć linie wpływowe momentów i reakcji podporowych oraz
momentów zginających i sił poprzecznych w zaznaczonych przekrojach.
Zadana belka:
Linie wpływowe sił z belkach ciągłych statycznie niewyznaczalnych oblicza się zgodnie ze
wzorem superpozycyjnym:
0
x =1
x =1
x =1
Lw M α = Lw M α + M α 1 Lw X 1 + M α 2 Lw X 2 + ... + M α n Lw X n
0
Lw Tα = Lw Tα + Tα
0
x1 =1
Lw R2 = Lw R2 + R2
Lw X 1 + Tα
x1 =1
x2 =1
Lw X 1 + R2
Lw X 2 + ... + Tα
x2 =1
xn =1
Lw X 2 + ... + R2
Lw X n
xn =1
Lw X n
Układ jest statycznie niewyznaczalny więc należy dobrać układ podstawowy i zapisać układ
równań kanonicznych:
{δ 11 ⋅ X 1 + δ 1P = 0
Mi ⋅Mk
1
M ⋅ Mi
ds + ∑ R ⋅ R ⋅
gdzie k = 0,8 ⋅ EI 0
∆ iP = ∫ P
ds
EI
k
EI
Obciążenie P jest jedynkowe dlatego zgodnie z konwencją oznaczamy je jako δ.
Rysuję wykresy momentów od poszczególnych sił jednostkowych:
δ ik = ∫
M1 [-]
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
LINIE WPŁYWOWE W BELKACH
Korzystając z metody Wereszczegina- Mohra całkowania iloczynu dwóch funkcji (w tym
jednej prostoliniowej) otrzymuje się:
M ⋅ M1
1 1
6 2 6  1
6  2 6 
2  1
δ 11 = ∫ 1
ds =
 2 ⋅ 6 ⋅ 1 ⋅  3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 14 ⋅  3 ⋅ 14  + 2 ⋅ 6 ⋅ 14 ⋅  3 ⋅ 14  +
EI
EI 0 






2
2
 1 1   3  
1 1
1
1
 2 
⋅  +  +    =
⋅ 4,21995
+
⋅ 7 ⋅ 1 ⋅  ⋅ 1 +
2
1,5EI 0 
 3  0,8EI 0  6 7   14   EI 0


Należy wykorzystać twierdzenie Maxwella:
δ1P ( x) = δ P1 ( x)
Zamiast obliczać przemieszczenie w danym punkcie od poruszającej się siły P, obliczamy
przemieszczenia wszystkich punktów nad którymi stanie siła P (czyli linię ugięcia) od
założonej siły jedynkowej X1=1
Aby obliczyć linię wpływu X1 należy obliczyć linie ugięcia w każdym z przedziałów
wykorzystując równanie różniczkowe linii ugięcia.
x
Politechnika Poznańska
y
ODCINEK x ∈ 5,6
d2y
= − M (x )
dx 2
d2y 1
EI 0 2 = ⋅ x
14
dx
dy
1 x2
EI 0
=C+ ⋅
dx
14 2
1 x3
EI 0 y = D + Cx + ⋅
14 6
EI 0
Adam Łodygowski ®
LINIE WPŁYWOWE W BELKACH
Warunki brzegowe:
x=0 y=0
3 1 3
1
x = 6 y = 1⋅ ⋅ = ⋅
14 k 14 0,8 ⋅ EI 0
EI 0 ⋅
→
D=0
3
1
1 x3
⋅
= D + Cx + ⋅
14 0,8 ⋅ EI 0
14 6
3 10
36
43
⋅ = 6⋅C +
→
C=−
14 8
14
112
Znając stałe można napisać równanie różniczkowe linii ugięcia:
x3 
1  43
−
y=
⋅x+ 
EI 0  112
84 


ODCINEK x ∈ 4,5
EI 0
y
x
EI 0
d2 y
()
2
= −M x
2
=
dx
d2 y
dx
3 1
− ⋅x
7 7
2
3
1 x
dy
EI 0
=C+ ⋅x+ ⋅
7
7 2
dx
2
3
3 x
1 x
− ⋅
EI 0 y = D + C x + ⋅
7 2 7 6
Warunki brzegowe:
3
1
x=0 y= ⋅
14 0,8 ⋅ EI 0
x=0
(
→
D = EI 0 ⋅
→
C=
3
1
30
⋅
=
14 0,8 ⋅ EI 0 112
)
ϕ x = 0 = ϕ (x = 6)
C=−
43 1 6 2
+ ⋅
112 14 2
101
112
Znając stałe można napisać równanie różniczkowe linii ugięcia:
1  30 101
3 2 1 3
+
⋅x+ ⋅x −
⋅x 
y=

EI 0  112 112
14
42

Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
LINIE WPŁYWOWE W BELKACH
ODCINEK x ∈ 3,4
x'
y'
EI 0
Warunki brzegowe:
x' = 0 y (x' = 0) = y x = 3
(
d 2 y'
= − M (x')
d ( x' ) 2
1
d 2 y'
1,5 ⋅ EI 0
= ⋅ ( x' ) 2
2 ... zobacz całą notatkę