To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.3. Twierdzenia Pappusa-Guldina Do wyznaczania środków ciężkości jednorodnych linii płaskich i jednorodnych figur płaskich stosuje się dwa twierdzenia Pappusa-Guldina. Podamy je bez dowodów, a ich zastosowanie zilustrujemy prostymi przykładami. Zaznajomienie się z dowodami podanych niżej twierdzeń pozostawiamy Czytelnikowi. Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina Pole powierzchni F, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości L dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii pomnożonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości: F h C L = 2π , (4.16) gdzie jest odległością środka ciężkości linii od osi obrotu. h C Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina Objętość bryły V , powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni figury pomnożonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości: V h C F = 2π , (4.17) przy czym jest tutaj odległością środka ciężkości figury od osi obrotu. h C Przykład 4.2. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego łuku ćwiartki koła przedstawionego na rys. 4.6. xC x y C O r yC Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości łuku kołowego Rozwiązanie . Z uwagi na to, że przedstawiony łuk ma oś symetrii, jego środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Ponieważ oś symetrii jest dwusieczną kąta prostego zawartego między osią x i y, współrzędne środka ciężkości C będą równe: . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną z nich. Wyznaczymy współrzędną , korzystając z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy obrocie łuku wokół osi y otrzymamy powierzchnię w postaci połowy kuli o powierzchni x i y C C C x y C = x C F r = 2 2 π . Długość łuku L r = π 2 . Po podstawieniu tych wartości do wzoru (4.16) otrzymamy równanie: 2 2 2 2 π π π r x r C = , stąd π = = r 2 y x C C . Przykład 4.3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rys. 4.7. x y O r r/2 Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości figury płaskiej
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)