Test Dickeya i Fullera (test jednostkowego pierwiastka, ang. unit-root test) Jest to najpopularniejszy i najcz ciej stosowany test na obecno pierwiastków jednostkowych. Nie ma on du ej mocy 1, w zwi zku z tym cz sto faworyzuje hipotez o istnieniu pierwiastka jednostkowego2. Przyjmijmy nast puj ce zało enia: 1. { ξt} ~ AR(1) ⇔ t t t ε ξ ϕ ξ + = −1 1 , { ε t }~WN( σ2), [ ∀t ∈ lub t = 1, 2, ..., ξ0 – warunek pocz tkowy, odpowiednio dobrany] 2. ϕ1 ∈ (-1, 1] 3. { ε t } – biały szum gaussowski (zmienne losowe ε t , t =1, 2, ... musz by niezale ne, dla asymptotycznych wyników ani zało enie normalno ci ani homoskedastyczno ci nie s potrzebne3) Układ hipotez: H0: ϕ1 = 1 (proces {ξt} jest bł dzeniem przypadkowym, istnieje pierwiastek jednostkowy = 1, skutek szoku jest trwały, { ξt} ~ I(1)) H1: ϕ1
(…)
…} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(1), skutek wyst pienia
szoku stopniowo zmierza do zera, {ξt} ~ I(0))
Nie mo na bezpo rednio testowa
czy ϕ1 = 1 w równaniu autoregresji ξt = ϕ1ξt −1 + ε t ,
szacuj c model MNK i u ywaj c statystyki t Studenta. Gdy ϕ1 = 1 proces generuj cy dane
{ξt} nie jest bowiem kowariancyjnie stacjonarny. Estymator MNK mo e by wtedy znacznie
obci ony, a ponadto niewiele wiadomo o rozkładzie statystyki t Studenta, gdy zmienna ξt
jest niestacjonarna4. Estymator MNK daj ocen obni on w kierunku zera (ale jest super
zgodny). Podobnie gdy ϕ1 jest bliskie 1, ocena uzyskana za pomoc MNK jest obci ona w
kierunku zera5 (Maddala (2006), str. 613).
Odpowiednia metoda testowania została podana przez Dickeya i Fullera. Test oparty jest na
estymacji równania równowa nego.
1
Moc testu: 1-b, gdzie b=Pr(nieodrzucenia H0 | H0 jest fałszywa). Czyli moc testu to Pr(odrzucenia H0 | H0 jest
fałszywa)
2
Osi ska (2006)
3
Mackinnon J.G. (1996), Numerical Distribution Functions for Unit Root and Cointegration Tests, Journal of
Applied Econometrics, vol. 11, 601-618.
4
Charemza i Deadman (1997)
5
Maddala G. S. (2006), Ekonometria, PWN, Warszawa 2006
Reparametryzujemy proces:
ξt = ϕ1ξt −1 + ε t
ξt − ξt −1…
… parametru δ, otrzymanej MNK, i jego bł du
redniego szacunku.
Statystyka testowa:
DF =
δˆ
,
ˆ (δ )
D ˆ
gdzie
T
∆ξtξt −1
δˆ = t =1T
ξ t2 1
−
t =1
ˆ
, D(δˆ ) =
1 T
ˆ
(∆ξt − δξt −1 ) 2
T − 1 t =1
T
ξt2 1
−
t =1
δˆ - estymator MNK parametru δ,
ˆ
D (δˆ) - bł d redni szacunku parametru δ.
Przy prawdziwo ci hipotezy zerowej, ten iloraz (czyli DF) nie ma rozkładu t Studenta (mamy
regresj zmiennych tworz cych proces I(0) wzgl dem zmiennych tworz cych proces I(1),
iloraz nie ma granicznego rozkładu normalnego, Charemza i Deadman 1997, str.114). Jego
rozkład cechuje ujemna sko no .
Własno ci asymptotyczne statystyki DF :
N(0,1), DF ~ tT-1, ale T→∞
tT-1 → N(0,1)
H1 prawdziwa
T →∞
DF
H0 prawdziwa
Rozkład lewostronnie
asymetryczny,
niestandardowy, o grubym
lewym ogonie
DFα - kwantyl rz du α w rozkładzie…
…), ϕ1 ,ϕ 2 ,...,ϕ p ∈
.
Zakładamy, e wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego s
co do modułu
wi ksze od 1 lub dokładnie równe 1 (uwaga nie -1).
Jakie s
warunki konieczne i wystarczaj ce na to, aby proces proces AR(p) posiadał
pierwiastek jednostkowy równy jeden?
w( z ) = z 0 − ϕ1 z1 − ϕ 2 z 2 + ... − ϕ p z p = 1 − ϕ1 z − ϕ 2 z 2 + ... − ϕ p z p
w(1) =0 ⇔ 1-ϕ1 + …- ϕp = 0 ⇔
p
j =1
ϕ j = 1…
…),
Jak dobra p? Wykorzysta statystyk Durbina i Watsona. Gdy statystyka DW jest niska
zwi kszamy p z nadziej ,
e zniknie autokorelacja (nie jest to formalnie poprawne –
niespełnione s zało enia testu DW, Charemza i Deadman (1997), str. 117).
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)