Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu - wykład

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
Wykład 2
Rozkład normalny, jednostajny i dwumianowy
Przemysław Biecek
Dla 1 roku studentów Biotechnologii
Rozkład normalny, gaussowski
Najczęściej wykorzystywany rozkład, do modelowania zmienności
w populacji. Parametrami rozkładu są średnia µ i wariancja σ 2 .
Korzystamy z notacji
X ∼ N (µ, σ 2 ).
Gęstość rozkładu normalnego wyraża się wzorem
−(x−µ)2
1
f (x) = √ e 2σ2 .
σ 2π
Standardowy rozkład normalny, to rozkład normalny o średniej 0
i wariancji 1
X ∼ N (0, 1).
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
2/25
Przekształcenia zmiennej o rozkładzie normalnym
Przyjmijmy, że zmienna X ma rozkład
X ∼ N (0, 1).
Możemy określić nową zmienną Y następująco
(Y − µ)/σ = X ,
tak określona zmienna ma rozkład
Y ∼ N (µ, σ).
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
3/25
kwantyl 0.999 = 3.09
kwantyl 0.95 = 1.64
0.6
pnorm(x)
0.4
0.0
0.2
kwantyl 0.975 = 1.96
0.8
1.0
Kwantyle zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
4/25
Przykłady
Przyjmuje się, że współczynnik IQ ma w populacji rozkład
normalny o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15.
IQ ∼ N (100, 15).
Ile osób ma IQ większe od 100?
Ile osób ma IQ w przedziale 70 do 130?
Jaki przedział przyjąć by określić 5% osób o największym IQ?
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
5/25
Rozkład dwumianowy
Często wykorzystywany rozkład, do modelowania liczby wystąpień
zjawisk zdarzających się z pewnym prawdopodobieństwem.
Parametrami rozkładu są liczba prób n i prawdopodobieństwo
sukcesu p. Korzystamy z notacji
X ∼ B(p, n).
Średnia wartość wynosi
E (X ) = np
a wariancja
Var (X ) = np(1 − p).
Prawdopodobieństwo wystąpienia k sukcesów
P(X = k) =
n
· p k · (1 − p)n−k .
k
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
6/25
Przykłady
Przypuśćmy, ze prawdopodobieństwo zdania egzaminu nie ucząc
się wynosi 0.01. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu ucząc się
przez tydzień wynosi już 0.7.
Na pierwszym roku wydziału X studenci mają 4 egzaminy.
Opisać rozkład liczby zdanych egzaminów przez
osobę, która nic się nie uczyła,
osobę, która uczyła się tydzień do każdego egzaminu.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
7/25
Centralne Twierdzenie Graniczne
Rozkład normalny jest ważny, ponieważ jest granicznym
przypadkiem uśredniania zmiennych pochodzących z innych
rozkładów.
Centralne Twierdzenie Graniczne
Średnia n niezależnych ustandaryzowanych zmiennych losowych
z porządnych rozkładów zbiega do rozkładu normalnego N (0, 1/n).
Co to oznacza?
Wiele zjawisk można przybliżyć rozkładem normalnym.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
8/25
Centralne Twierdzenie Graniczne
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
liczba sukcesów w 1 próbie
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1.5
2.0
9/25
Centralne Twierdzenie Graniczne
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
liczba sukcesów w 10 próbach
0
2
4
6
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
8
10
10/25
Centralne Twierdzenie Graniczne
0.00
0.02 ... zobacz całą notatkę