To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
StatecznoĞü konstrukcji
z
z
z
utrata statecznoĞci jest zjawiskiem dynamicznym, ale
ukáady potencjalne moĪna badaü w oparciu o tzw.
statyczne kryterium statecznoĞci
statecznoĞü z zaáoĪenia jest zagadnieniem nieliniowym,
gdyĪ wymaga budowania równaĔ równowagi (lub ruchu)
w konfiguracji odksztaáconej, a ta nie jest z góry znana
konieczna jest rezygnacja z zasady zesztywnienia,
co prowadzi do zagadnieĔ geometrycznie nieliniowych,
w których macierz sztywnoĞci jest funkcją przemieszczeĔ
K = K(q), tzw. styczna macierz sztywnoĞci
11
Historia statecznoĞci
z
z
z
z
z
Euler 1750 – pionierska analiza wyboczenia prĊta
Dirichlet, Poincaré i inni XIXw – kryteria statecznoĞci
Lyapunov 1892 – teoria statecznoĞci ruchu ukáadów
dyskretnych
Koiter 1965 – uogólnienie na ukáady ciągáe, analiza
wraĪliwoĞci na imperfekcje
XXw – rozwój nieliniowej teorii statecznoĞci, ukáady
niezachowawcze (siáy Ğledzące), statecznoĞü dynamiczna,
interakcja postaci wyboczenia,
12
6
Punkty krytyczne
z
Ukáad potencjalny jest w równowadze:
f
f
f
z
statecznej, gdy K jest ĞciĞle dodatnio okreĞlona (wszystkie
wartoĞci wáasne są dodatnie)
niestatecznej, jeĞli choü jedna z wartoĞci wáasnych K jest ujemna
obojĊtnej, gdy 0 = Z1 d Z2 d Z3 d …
Punkty krytyczne
f
f
f
rozdzielają stateczne i niestateczne stany równowagi
z definicji K jest osobliwa det(K) = 0 przynajmniej jedna
wartoĞü wáasna K jest równa zeru
klasyfikacja
z
z
zwykáe punkty krytyczne: graniczne i bifurkacji
wielokrotne punkty krytyczne – interakcja postaci wyboczenia
13
Klasyfikacja pojedynczych p. krytycznych
O
O
v
v
1. LP
2a. SSBP q
q
O
O
v
2b. SUBP
On + Dv
q
2c. UBP
q
14
7
StatecznoĞü początkowa
z
Zadanie statecznoĞci początkowej formuáujemy przy zaáoĪeniu, Īe
przemieszczenia przed osiągniĊciem stanu krytycznego są maáe i
proporcjonalne do obciąĪeĔ, co pozwala na linearyzacjĊ wzglĊdem
parametru obciąĪenia
K (O ) | K 0 O K g
gdzie K0 i Kg to macierze sztywnoĞci początkowej
(konstytutywnej) i geometrycznej (początkowych naprĊĪeĔ)
z
Ostatecznie zadanie sprowadza siĊ do rozwiązania uogólnionego
problemu wáasnego, postaci
(K 0 O K g ) Q
0
15
Przykáad S-1
z
Wyboczenie prĊta przegubowego, podpartego sprĊĪystą podporą
3
1
k u Pv
2
F (u, O )
u
ku
0 lub O
v
Ou
L2 u 2
L L2 u 2
0
k L2 u 2
1
0.8
0.6
Pkr
kL
0.4
0.2
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
16
8
Przykáad S-1
z
Wyboczenie sáupa (zadanie Eulera)
Pkr
S2 EJ
L2
w
17
Uogólniony problem wáasny
( A ZB ) v
z
0
Sprowadzenie do postaci standardowej
f
w ogólnym przypadku
f
( A ZI ) v
( B 1A ZI ) v
0
0
dla macierzy A, B symetrycznych i B 0
z
rozkáad Banachiewicza-Cholesky’ego
B
L LT
z
podstawienie
v
LT r
z
prowadzi ostatecznie do klasycznego
problemu wáasnego z macierzą symetryczną
( L1A LT ZI ) r
0
18
9
WáasnoĞci symetrycznego problemu wáasnego
z
z
z
wartoĞci i wektory wáasne są rzeczywiste
zadanie jest dobrze uwarunkowanie numeryczne
wektory wáasne tworzą bazĊ ortogonalną
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)