podstawy fizyki - wykład 12

14. Zasady zachowania dla punktu i układu
punktów materialnych:
pędu, krętu, energii, zasada d’Alemberta.
r
r
p = mυ pęd (ilość ruchu) punktu materialnego
z
pochodna względem czasu pędu
r
d (mυ ) r
= F równa jest sile działającej na
dt
m υ
dany punkt
F
y
O
x
t2 r
v
v
m(υ 2 − υ1 ) = ∫ Fdt
t1
przyrost pędu równy jest
impulsowi (popędowi) siły
działającej na ten punkt
Jeśli na punkt materialny nie działa adna siła (lub działają siły
równowa ące się) to jego pęd pozostaje stały.
r
r
r
KO = r × mυ kręt (moment pędu) punktu materialnego
r
r
r
r r d (mυ ) r r r
dK O dr
=
× mυ + r ×
= r × F = MO
dt
dt
dt
z
m υ
r
x
O
F
y
pochodna względem czasu krętu KO punktu
materialnego względem nieruchomego bieguna O równa jest momentowi MO względem
tego bieguna siły zewnętrznej F działającej
na dany punkt
Je eli moment względem wybranego nieruchomego
bieguna O wypadkowej sił działających na punkt
materialny równy jest zeru, wówczas kręt punktu
wyznaczony względem tego bieguna jest stały
KO=const
1
Ek =
mυ 2
2
energia kinetyczna
Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym
przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym
samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt
(
(
∆Ek = Ek2 ) − Ek1) = W1, 2
W zachowawczym (potencjalnym) polu sił praca sił pola
równa jest ró nicy energii potencjalnych
W1, 2 = E (1) − E (2 )
p
p
Gdy punkt materialny porusza się w
(1)
(1)
(2 )
(2 )
zachowawczym polu sił, suma jego Ek + E p = Ek + E p
energii kinetycznej i potencjalnej,
(1
(
E m ) = Em2 )
zwana energią mechaniczną, jest stała.
Jeśli na punkt działają siły niezachowawcze (niepotencjalne) to
przyrost energii mechanicznej punktu równy jest pracy tych sił
(
(1
Em2 ) − Em ) = W
2
Układ punktów materialnych
r n
r
p = ∑ miυ i pęd układu punktów materialnych
z
υi
mi
Fi
x
i =1
m1 υ1
F1
y
O
mn
υn
pochodna względem czasu pędu
r
układu punktów materialnych
dp n r
= ∑ Fi równa jest sumie wszystkich sił
dt i =1
zewnętrznych działających na
punkty tego układu
Fn
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Jeśli na układ punktów materialnych nie działają siły
zewnętrzne, to pęd układu pozostaje stały.
n r
r
r
K O = ∑ ri × miυ i kręt układu punktów materialnych
i =1
z
υi
mi
Fi
x
m1
ri r1
O
υ1
rn m
n
υn
Fn
F1
y
pochodna względem czasu
krętu układu punktów
materialnych względem
r
dK O n r r dowolnego nieruchomego
= ∑ ri × Fi
dt
bieguna równa jest sumie
i =1
momentów wszystkich sił
zewnętrznych względem
tego bieguna
ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU
Je eli momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów
materialnych względem nieruchomego bieguna są równe zeru,
to kręt układu względem tego bieguna pozostaje stały.
3
Zadanie 1/14
Człowiek o masie m siedzi na wózku o masie M1 poruszającym się z prędkością υ1. W
pewnej chwili przeskakuje na wózek o masie M2 poruszający się z prędkością υ2 odbijając
się z prędkością υ względem pierwszego wózka. Obliczyć prędkości wózków po
przeskoczeniu człowieka. Opory toczenia się wózków pominąć.
m
M1
υ1

(…)

… A i połączono z
tuleją B mogącą ślizgać się bez tarcia po
poziomej prowadnicy. Tuleję wychylono do
punktu C i puszczono bez prędkości
początkowej. Jaka będzie jej prędkość υD przy
przejściu przez punkt D? Dany jest wymiar a
oraz masa tulei równa m.
k
l
B
C
m
D
a
Zadanie 11/14
Z jakiej wysokości h nale y puścić bez
prędkości początkowej punkt materialny,
aby:
a)
b)
r
nie oderwał się od toru w najwy szym
punkcie…
… pod kątem α pchnięto klocek z prędkością początkową υ0. Jaką
drogę przebędzie on do chwili zatrzymania się i z jaką prędkością powróci do miejsca, z
którego został wypchnięty, jeśli współczynnik tarcia o równię wynosi µ? Przeprowadzić
dyskusję rozwiązania.
m
Zadanie 4/14
Klocek o masie m zsuwa się bez prędkości
początkowej wzdłu równi nachylonej pod
kątem α przebywając drogę l do chwili
uderzenia w sprę ynę o sztywności k. Jaką
drogę l1 przebędzie klocek po odbiciu się
od sprę yny, jeśli współczynnik tarcia o
równię wynosi µ? Masę sprę yny pominąć.
Przeprowadzić dyskusję wyniku.
α
l
l1
k
4
m
Zadanie 5/14
Z wierzchołka gładkiej półkuli o promieniu r zsuwa
się z pomijalnie małą prędkością początkową punkt
materialny o masie m. Znaleźć kąt α0 określający
poło enie punktu, w którym oderwie…
... zobacz całą notatkę