To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
20. Model atomu wodoru według Bohra.
Wybór i opracowanie zadań – Jadwiga Mechlińska-Drewko.
Więcej zadań na ten temat znajdziesz w II części skryptu.
20.1.
Opierając się na teorii Bohra znaleźć:
a/ promień n-tej orbity elektronu w atomie wodoru,
b/ prędkość elektronu na tej orbicie,
c/ jego całkowitą energię na n-tej orbicie.
20.2.
Wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru przy przejściu
elektronu z orbity n na orbitę k.
20.3.
Przejście elektronu z n-tej orbity na orbitę k=1 zachodzi z emisją fotonu o długości λ=1,026
10-7m. Znaleźć promień n-tej orbity.
20.4.
Znaleźć dla dwóch pierwszych orbit atomu wodoru wartość siły przyciągania
kulombowskiego między elektronem i jądrem oraz natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez jądro w odległości równej promieniowi pierwszej i drugiej orbity.
20.5.
Ile razy zwiększy się promień orbity elektronu w atomie wodoru będącego w stanie
podstawowym (n=1) przy wzbudzeniu go kwantem o energii Eν=12,09 eV ?
20.6.
W atomie wodoru elektron przeskakuje z drugiej orbity na pierwszą. Wyznaczyć zmianę
wartości pędu elektronu oraz zmianę jego energii kinetycznej przy tym przeskoku.
20.7.
Seria linii wodorowych z zakresu światła widzialnego (tzw. seria Balmera) powstaje przy
przejściu elektronu z wyższych orbit na drugą. Znaleźć granice serii Balmera.
20.8.
Wykazać, że częstotliwość fali świetlnej emitowanej przez atom wodoru przy przejściu
elektronu z n+1 na n-tą orbitę dąży, przy dużych n, do częstotliwości obiegu elektronu na
n-tej orbicie.
20.9.
Obliczyć minimalne liniowe rozmiary pozytonium oraz jego energię jonizacji. Pozytonium
jest układem złożonym z pozytonu i elektronu krążących wokół wspólnego środka masy.
20.10.
Obliczyć wartość orbitalnego momentu magnetycznego elektronu w atomie wodoru w stanie
podstawowym.
Rozwiązania:
20.1.R.
Korzystając z równań:
mVn2
h
1 e2
m Vn rn = n
i
=
,
2π
4πε 0 rn2
rn
gdzie:
m- masa elektronu,
rn- promień n-tej orbity,
Vn- prędkość elektronu na n-tej orbicie,
h- stała Plancka,
e- ładunek elektronu,
ε0- przenikalność elektryczna próżni,
wyznaczamy:
ε h2
rn = 0 2 n 2
π me
i
Vn =
e2 1
.
2ε 0 h n
mVn2
2
1 e2
=−
czyli
4πε 0 rn
Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej E kn =
i energii potencjalnej oddziaływania elektronu z jądrem E pn
me 4
me 4 1
Rhc
= − 2 , gdzie R =
= 1,09 ⋅ 10 7 m −1 .
E n = E kn + E pn = −
2 2
2
2 3
8πε 0 h n
8πε 0 h c
n
R - stała Rydberga.
20.2.R.
Rhc Rhc
+ 2 .
λ
k
n2
1
1
1
1
1
= R− 2 + 2 = R 2 − 2 .
λ
k
n
k
n
hυ = h
c
= En − Ek = −
20.3.R.
Z poprzednich zadań mamy zależności:
1
1
1
(1)
= R 2 − 2
λ
n
k
2
ε h
(2) rn = 0 2 n 2 .
π me
Po wstawieniu n2 wyznaczonego z równania (1) do równania (2) mamy:
ε 0 h 2λ R k 2
rn =
= 4,75 ⋅ 10−10 m. .
2
2
π m e (λR − k )
20.4.R.
Ponieważ
1 e2
Fn =
4πε 0 rn2
oraz
rn =
ε 0h2 2
n
π m e2
Natężenie pola elektrycznego E =
Fn =
to
πm 2 e 6 1
3
4h 4 ε 0 n 4
.
F F
= .
q
e
Wynik obliczeń:
F1 = 8,22 ⋅ 10 −8 N , E1 = 5,13 ⋅ 1011
V
m
oraz
F2 =
F1
E1
, E2 = 4
4
2
2
.
20.5.R.
W wodorze, przy przejściu elektronu z orbity n-tej na pierwszą orbitę następuje emisja
kwantu o energii:
Rhc Rhc
Eυ = hυ = E n − E1 = − 2 + 2 .
1
n
Rhc
Znając wartość energii kwantu można wyznaczyć wartość n : n =
= 3.
Rhc − Eυ
Elektron w procesie opisanym w zadaniu został wzbudzony na poziom trzeci.
r
r
ε h2
Ponieważ : rn = 0 2 n 2 i rn = r1 n 2 to n = n 2 i 3 = 3 2 = 9 .
r1
r1
π me
20.6.R.
Z postulatu Bohra wynika:
Ponieważ rn =
ε 0h2 2
n
π m e2
2π m Vn rn = n h i
to
pn =
me 2 1
2ε 0 h n
pn =
oraz
nh
.
2π rn
E kn =
2
pn
me 4
= 2 2 2 .
2m 8ε 0 h n
Z powyższych zależności wynika, że:
3me 4
me 2 1 me 2
∆p = p1 − p 2 =
oraz ∆E = E1 − E 2 =
1− =
.
2
2ε 0 h 2 4ε 0 h
32ε 0 h 2
20.7.R.
Przy przejściu elektronu z n-tej orbity na k-tą następuje emisja światła o długości spełniającej
1
1
1
równanie = R 2 − 2 . Dla serii Balmera k=2.
λ
n
k
Przy przejściu z n=3 na k=2 nastąpi emisja kwantu o najmniejszej energii (i największej
długości fali) w serii Balmera. Jest to długofalowa granica serii przy czym:
1
λmax .
1 1 5
= R 2 − 2 =
R czyli λmax = 660nm.
2 3 36
Krótkofalowa granica odpowiada przejściu z n = ∞ na k=2 i wynosi λ min . =
4
= 367nm .
R
20.8.R.
rn =
Ponieważ
ε 0h2 2
n
π m e2
wodoru jest równa:
υn =
i
Vn =
e2 1
2ε 0 h n
Vn
me 4 1
= 2 3⋅ 3
2πrn 4ε 0 h n
częstotliwość obiegu elektronu w atomie
R=
me 4
.
2
8ε 0 h3c
Przy przejściu elektronu z orbity n+1 na orbitę n następuje emisja kwantu o energii:
1
n 2 + 2n + 1 − n 2
1
czyli υ = Rc 2 −
= Rc
(n + 1)2
(n + 1)2 n 2
n
2 Rc
Dla n1 częstotliwość kwantu dąży do wartości υ n = 3 co jest równe częstotliwości
n
obiegu elektronu.
Rhc
Rhc
+ 2
Eυ = hυ = E n +1 − E n = −
2
(n + 1)
n
20.9.R.
Pozyton jest cząstką o masie równej masie elektronu. Ładunek pozytonu jest równy co do
wartości bezwzględnej ładunkowi elektronu i wynosi 1,6⋅10-19C.
Uwzględniając ruch elektronu i pozytonu wokół wspólnego środka masy wprowadzamy masę
zredukowaną µ układu elektron-pozyton:
1
µ
=
1
1
gdzie me i mp odpowiednio masy elektronu i pozytonu.
+
me m p
Korzystając z układu równań:
2π µ Vn rn = n h
i
e2
µ Vn2
=
,
rn
4πε 0 rn2
przyjmując, że me=mp=m wyznaczamy
2ε 0 h 2 2
rn =
n .
π m e2
Minimalne rozmiary pozytonium określa promień pierwszej orbity: r1 =
Energia wiązania pozytonium wynosi:
e2
e2
me 4
µ Vn2
−
=−
=−
Ew = Ek + E p =
2
4πε 0 rn
8πε 0 rn
16ε 02 h 2 n 2
Energia jonizacji z poziomu pierwszego E j =
me 4
= 6,8eV .
16ε 02 h 2
2 ε 0h2
.
π m e2
20.10.R.
Moment magnetyczny obwodu z prądem
µ = IS
I natężenie prądu jaki daje ruch elektronu po orbicie kołowej,
S powierzchnia obejmowaną przez ten obwód z prądem.
I=
e
Tn
Tn –okres obiegu elektronu na n-tej orbicie
Tn =
2π rn
Vn
µn =
eVn
π rn2
2π rn
S = π rn2
eVn rn
2
eh
µn =
n = µBn
4π m
µB=0,93 ⋅10-23J/T -magneton Bohra.
µn =
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)