metody systemowe i decyzyjne w informatyce - kolokwium

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Kolokwium nr 2 – 6.06.2011
Zadadanie 1 (10pkt)
Czasy oczekiwania na kolejne żądania użytkownika systemu webowego modelowane są niezależnymi realizacjami
zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem a, p(t|a) = Exp(t|a), gdzie a 0, t 0. Dodatkowo
znany jest rozkład a priori parametru a, p(a) = Exp(a|β), gdzie a 0, β 0. Zaobserwowano N niezależnych czasów oczekiwań t = {tn }N . Dla parametru a znaleźć rozkład a posteriori p(a|t), a następnie wyznaczyć estymator
n=1
maksymalnego a posteriori (MAP). Wskazówka: Gęstość rozkładu wykładniczego ma postać Exp(x|λ) = λe−λx ,
gdzie x 0, λ 0.
Zadanie 2 (10pkt)
Niech zmienna losowa K ∈ {0, 1} oznacza czy kupiony na giełdzie rower jest kradziony. Prawdopodobieństwo
zakupu kradzionego roweru wynosi p(K = 1) = 0.3. Niech zmienne losowe M ∈ {0, 1} i N ∈ {0, 1} oznaczają
odpowiednio czy rower został przemalowany oraz czy da się odczytać numer ramy. Łączne prawdopodobieństwa
tych dwóch zdarzeń w przypadku roweru kradzionego wynoszą odpowiednio: p(M = 0, N = 0|K = 1) = 0.5, p(M =
0, N = 1|K = 1) = 0.2, p(M = 1, N = 0|K = 1) = 0.2. Natomiast w przypadku roweru niekradzionego wynoszą:
p(M = 0, N = 0|K = 0) = 0.1, p(M = 0, N = 1|K = 0) = 0.5, p(M = 1, N = 0|K = 0) = 0.1. Zaobserwowano,
że rower, który chcemy kupić, ma widoczne numery oraz został przemalowany. Wyznaczyć prawdopodobieństwo
p(K = 1|M = 1, N = 1) i na tej podstawie podjąć decyzję czy dany rower jest kradziony.
Zadanie 3 (10pkt)
Trójkątny
obszar
∆
2
∆ = {x ∈ R : Gx + h
na
płaszczyźnie
opisany
jest
jako
przecięcie
trzech
półpłaszczyzn:
0}, gdzie G jest macierzą o wymiarach 3 × 2, h jest wektorem o wymiarach 3 × 1.
Dany jest prostąkąt R = {x ∈ R2 : a ≤ x1 ≤ b, c ≤ x2 ≤ d}. Chcemy znaleźć prostokąt R o maksymalnym polu
zawarty w obszarze ∆. Sformułować wypukły problem optymalizacji, przyjmując a, b, c, d jako zmienne decyzyjne.
Uzasadnić, że sformułowany problem jest wypukły.
Zadanie 4 (10pkt)
Prosta l w przestrzeni trójwymiarowej przechodząca przez początek układu współrzędnych opisana jest równaniem
l = {x ∈ R3 : Ax = 0}, gdzie A jest macierzą o wymiarach 2 × 3. Dany jest także punkt z ∈ R3 . Korzystając z
funkcji Lagrange’a wyznaczyć najbliższy punkt do punktu z leżący na prostej l.
Wskazówka: W celu uproszczenia rachunków wykorzystać następujące własności:
x
x−z
2
2
= 2(x − z) oraz
T
x λ Ax
= AT λ.
1
... zobacz całą notatkę