Matematyka - zestaw 3 - Liczby zespolone

Zestaw 3 1. Zbadać, czy (Z, ∗), gdzie a ∗ b = a + b + 2, jest grupą abelową. 2. W ciele liczb całkowitych modulo 11, tzn. w zbiorze Z11 = {0, 1, 2, ...10} z działaniami dodawania i mnożenia modulo 11, znaleźć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich elemen- tów różnych od zera. W grupie (Z ∗ 11, ·) (Z ∗ 11 = Z11 \ {0}) rozwiązać równanie 5x = 7 (mod 11) . 3. Znaleźć a, b ∈ R takie, by a 2 − i + b + 1 1 + i = 2. 4. Zilustrować na płaszczyźnie Gaussa zbiory: (a) A = z ∈ C : |z − 2i| ≤ 1 ∧ π 3 ≤ arg z ≤ π 2 , (b) B = z ∈ C : re z 2 = 2 ∧ (im(z + i)) 2 = 1 , (c) C = {z ∈ C : |z − i| + |z + i| = 4} . 5. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: (a) − 1 2 + √ 3 2 i, (b) i √ 3 − 1, (c) 1 + cos π 3 + i sin π 3 . 6. Wykonać działania: (a) (1 − i) 4, (b) 1 + i √ 3 100 , (c) 1+i √ 3 1−i 20 . 7. Obliczyć: (a) 3 √ i, (b) 6 √ −27, (c) 6 √ 3−i i−1 , (d) √ 8 + 6i, (e) 4 √ 3 − i 12 . 8. Rozwiązać równania: (a) z2 + 4z + 5 = 0, (b) z2 = 5 + 12i, (c) z4 − 30z2 + 289 = 0, (d) iz8 − (1 + i) z4 + 1 = 0, (e) z3 + 3z2 + 3z = i − 1. 9. Wyrazić cos 6α za pomocą sin α oraz cos α. 10. Wykazać równość: |z1 + z2| 2 + |z 1 − z2| 2 = 2 |z 1| 2 + |z 2| 2 . 11. Wykazać, że cos π 11 + cos 3π 11 + cos 5π 11 + cos 7π 11 + cos 9π 11 = 1 2 . 12. Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt z0 = 1 − i √ 3. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu wiedząc, że jego środkiem jest początek układu współrzędnych. 13. Rozważmy wielomian W (x) = x 6 − 6x5 + 18x4 − 28x3 + 31x2 − 22x + 14. Wiadomo, że W (1 − i) = W 2 − i √ 3 = 0. Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu. ... zobacz całą notatkę