To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Mnożenie macierzy, macierz odwrotna, rząd macierzy.
1. Jeżeli A = [aij ] jest m × n macierzą, a B = [bij ] jest n × p macierzą, to
n
iloczyn A · B = C = [cij ] jest m × p macierzą, zdefiniowaną następująco: cij =
aik bkj
k=1
Przykład:
W macierzy C = A · B w miejscu c2.4 (2 wiersz, 4 kolumna) wstawiamy iloczyn drugiego wiersza macierzy A i czwartej kolumny macierzy B,
gdzie iloczyn wiersza i kolumny oznacza iloczyn skalarny wektorów, utworzonych z wiersza lub kolumny
macierzy czyli [a1 , a2 , . . . an ] · [b1 , b2 , . . . bn ] = a1 · b1 + a2 · b2 + . . . + an · bn
4 1 3 0 6
1 2 3 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2 0 5 2 0
2 1 3 5 ·
1 8 2 1 1 = ∗ ∗ ∗ c2,4 ∗ , gdzie c2,4 = 2 · 0 + 1 · 2 + 3 · 1 + 5 · 0 = 5
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2 4 −2 0
4 9 0 0 2
2. Jeżeli A = [aij ] jest macierzą kwadratową stopnia n, o wyznaczniku różnym od zera, to macierzą
odwrotną do macierzy A nazywamy taką macierz kwadratową B stopnia n, że A · B = B · A = In ,
gdzie In jest macierzą jednostkową stopnia n. Jeżeli macierz odwrotna do danej macierzy A istnieje, to
jest wyznaczona jednoznacznie – i wtedy (jedyną) macierz odwrotną do A oznaczamy przez A−1 . Zatem
A · A−1 = A−1 · A = In .
Macierze, dla których macierz odwrotna istnieje nazywamy odwracalnymi. W powyższej definicji
macierzy B odwrotnej do A zakłada się, że oba iloczyny AB i BA są równe macierzy jednostkowej In ,
– natomiast można wykazać, że wystarcza, iż tylko jeden z nich jest równy macierzy jednostkowej In :
jeżeli dla macierzy kwadratowych A i B stopnia n zachodzi AB = In lub BA = In , to: macierz A jest
odwracalna, B jest macierzą odwrotną do A : B = A−1 , i w konsekwencji oba iloczyny AB i BA są
równe macierzy jednostkowej In .
Macierz odwrotną do macierzy A = [aij ] można obliczyć następującą metodą:
• liczymy wyznacznik macierzy A. Aby istniała macierz odwrotna musi zachodzić: det A = 0
• tworzymy tzw. macierz kofaktorową C = [cij ], gdzie cij = (−1)i+j det Aij (Aij jest macierzą
powstałą z macierzy A przez wykreślenie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny).
• macierz odwrotna jest dana wzorem
A−1 =
1
· CT
det A
W praktyce, metodę tę daje się zastosować dla macierzy co najwyżej trzeciego stopnia – dla macierzy
wyższych stopni jest zbyt uciążliwa rachunkowo. Możemy wtedy znaleźć macierz odwrotną następujący
sposób: dopisujemy do danej macierzy A n × n (po jej prawej stronie) macierz jednostkową tego samego
stopnia (In .). Powstaje więc macierz o n wierszach i 2n kolumnach. Następnie na wierszach tej powiększonej macierzy dokonujemy następujących operacji (operacji wierszowych, operacji elementarnych na
wierszach):
• dodanie do danego wiersza innego wiersza, pomnożonego przez dowolną liczbę
• pomnożenie danego wiersza przez liczbę, różną od zera
• przestawienie dowolnych dwóch wierszy miejscami
Celem powyższych operacji jest otrzymanie po lewej stronie tej powiększonej macierzy – macierzy
jednostkowej. Da się to wykonać wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odwrotna do rozpatrywanej macierzy
A istnieje. Macierz
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)