Liczby porządkowe - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 658
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Liczby porządkowe - omówienie - strona 1 Liczby porządkowe - omówienie - strona 2 Liczby porządkowe - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

LICZBY PORZĄDKOWE
Pierwotnie - typy dobrych porządków, czyli klasy abstrakcji porządków równolicznych. Błędne - robione w sprzecznej teorii (Frege).
Von Neumann - wybranie reprezentantów i ich definicja (liczby von Neumanna).
1. Zbiór przechodni
∀x [x jest zbiorem przechodnim ⇔df ∀y (y∈x ⇒ y ⊆ x)]
Warunkiem jednoznaczności wyboru reprezentantów jest warunek przechodniości.
2. Relacja należenia ograniczona do danego zbioru
∀x (∈x =df {(y, z)∈x2: y∈z})
On(x) - x jest liczbą porządkową (ordinal number)
∀x [On(x) ⇔df (x jest przechodni ∧ (x, ∈x) jest dobrym [ostrym] porządkiem)]
zwrotny, a(nty)symetryczny, przechodni, spójny, ∈x nie może być nieostre, bo nie jest zwrotne
R = ∈x ∪ idx - porządek nieostry (zwykły)
idx = {(y, y): y∈x}
Porządki ostre - odjęcie od zwykłego porządku relacji identyczności (przeciwzwrotność).
Porządki nieostre - dodanie do zwykłego porządku relacji identyczności (zwrotność).
1. ∅ - przechodni; ostry i nieostry. Więc On(∅).
2. {∅} - przechodni; ostry - relacja pusta; nieostry - relacja pełna. Więc On({∅}).
3. {{∅}} - nieprzechodni; {∅}∈{{∅}}, ale ~ {∅} ⊆ {{∅}}, bo ∅∉{{∅}}. Więc ~ On({{∅}}). Nie wszystkie zbiory są liczbami porządkowymi.
4. {∅, {∅}} - przechodni; liniowy porządek - ∅∈{∅}. Więc On({∅, {∅}}).
5. {∅, {∅}, {∅, {∅}}} - przechodni; liniowy - ∅∈{∅}, {∅}∈{∅, {∅}}, ∅∈{∅, {∅}}. Więc On({∅, {∅}, {∅, {∅}}}).
0 =ozn. ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅, {∅}}, 3 = {0, 1, 2}, 4 = {0, 1, 2, 3}
n = {0, 1, ... , n - 1} - schemat nieskończonego zbioru definicji
n + 1 = n ∪ {n}?
Pierwsza nieskończona liczba porządkowa - ω = {0, 1, 2, ...}
Twierdzenie. ∀x {On(x) ⇒ ∀y [y∈x ⇒ On(y)]} (każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową)
Dowód.
Niech x takie, że On(x) oraz y∈x. Pokażemy, że y jest przechodni.
Niech z∈y. Pokazujemy, że z ⊆ y.
Niech w∈z. Z przechodniości x wiemy, że y ⊆ x, ponadto z ⊆ x, czyli w∈x oraz z∈x. Ale (x, ∈x) jest porządkiem liniowym, czyli przechodni, (w, z)∈ ∈x, (z, y)∈ ∈x, stąd (w, y)∈ ∈x (z przechodniości ∈x). Zatem w∈y. Pozostaje pokazać, że (y, ∈y) jest dobrym porządkiem.
Wynika to z następującego:
Lemat. Niech (U, R) będzie dobrym porządkiem, A ⊆ U. Wówczas (A, R ∩ A2) również jest dobrym porządkiem.
Dowód. Oznaczmy S = R ∩ A2. (A, S) zwrotna, bo jeśli x∈A, to (

(…)

… (o indukcji po liczbach naturalnych)
∀x {[(0∈x ∧ ∀n (n∈x ⇒ n + 1∈x)] ⇒ ∀n n∈x}
Konwencja: n, m, k, i, j - zmienne przebiegające elementy ω.
∀n φ(n) oznacza ∀x [x∈ω ⇒ φ(x)]
Załóżmy, że x spełnia poprzednik. Rozważmy
ZF (teoria mnogości Zermelo-Fraenkla) - wszystkie dotychczasowe aksjomaty.
Z (teoria mnogości Zermelo) - ZF bez schematu zastępowania.
Inne teorie mnogości - bez aksjomatu nieskończoności, zbioru…
… ≈ x]}
Cn - jednoznaczne (działamy w kontekście teorii mnogości)
Moc - |A|, //A, #A, card(A)
Każdemu zbiorowi chcemy przyporządkować liczbę jego elementów - liczbę kardynalną.
Uwaga1. ∀n Cn(n), gdzie n jest liczbą naturalną.
Uwaga2. ∀x ∃=1α [Cn(α) ∧ x ≈ α]
Przykłady.
Cn(ω), ~ Cn(ω + ω) (liczba graniczna),
Argument przekątniowy (Cantor)
~ ω ≈ [0, 1] = {r∈R: 0 < r < 1}
r = 0, e1e2e3... , gdzie e1, e2…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz