Interpolacja Lagrange

Interpolacja Lagrange’a Wyznaczyć wielomian interpolacyjny mając dane węzły ( − 2 , − 3) ,  ( − 1 ,  3) ,  (1 ,  3) ,  (2 ,  3) W przypadku ogólnym mając dane  n  + 1 punktów węzłowych ( xi, fi )  i  = 0 , . . . , n szukany wielomian interpolacyjny jest postaci w ( x ) = n i =0 fiLi ( x ) gdzie  Li ( x ) = n j =0 , j = i x − xj xi − xj W naszym przypadku mamy x 0 =  − 2 , x 1 =  − 1 , x 2 = 1 , x 3 = 2 f 0 =  − 3 , f 1 = 3 , f 2 = 3 , f 3 = 3 Obliczymy najpierw wielomiany  Li, i  = 0 ,  1 ,  2 ,  3 L 0( x ) = ( x − x 1)( x − x 2)( x − x 3) ( x 0  − x 1)( x 0  − x 2)( x 0  − x 3) = ( x  + 1)( x −  1)( x −  2) − 12 =  − 1 12 ( x 3 − 2 x 2 −x +1) L 1( x ) = ( x − x 0)( x − x 2)( x − x 3) ( x 1  − x 0)( x 1  − x 2)( x 1  − x 3) = ( x  + 2)( x −  1)( x −  2) 6 = 1 6 ( x 3  − x 2  −  4 x  + 4) L 2( x ) = ( x − x 0)( x − x 1)( x − x 3) ( x 2  − x 0)( x 2  − x 1)( x 2  − x 3) = ( x  + 2)( x  + 1)( x −  2) − 6 =  − 1 6 ( x 3  −x 2 − 4 x− 4) L 3( x ) = ( x − x 0)( x − x 1)( x − x 2) ( x 3  − x 0)( x 3  − x 1)( x 3  − x 2) = ( x  + 2)( x  + 1)( x −  1) 12 = 1 12 ( x 3 + 2 x 2  − x −  2) Zatem szukany wielomian ma postać w ( x ) = 1 2 x 3  − x 2  − 1 2 x  + 4 Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane węzły ( − 1 , − 4) ,  (0 , − 1) ,  (1 ,  0) ,  (2 ,  5) Skorzystamy z metody wykorzystującej tzw. ilorazy różnicowe. Ilorazem różnicowym rzędu zerowego opartym na węźle ( xi, fi ) nazywamy liczbę  fi Ilorazem różnicowym rzędu  k  opartym na węzłach ( xi 0  , fi 0 ) , . . . ,  ( xik , fik  ) nazywamy liczbę fi 0 i 1 ...ik  = fi 1 i 2 ...ik − fi 0 i 1 ...ik− 1 xi k − xi 0 Wówczas w ogólnym przypadku mając zadane węzły ( xi, fi ) , i  = 0 , . . . , n  wielomian interpolacyjny  w ( x ) ma postać Newtona w ( x ) =  f 0 +  f 01( x − x 0) +  f 012( x − x 0)( x − x 1) +  . . .  +  f 01 ...n ( x − x 0)  . . .  ( x − xn− 1) W naszym przypadku mamy  n  = 3 oraz x 0 =  − 1 , x 1 = 0 , x 2 = 1 , x 3 = 2 f 0 =  − 4 , f 1 =  − 1 , f 2 = 0 , f 3 = 5 Obliczmy najpierw współczynniki  f 01 , f 12 , f 23 , f 012 , f 123 , f 0123 f 01 = f 1  − f 0 x 1  − x 0 = 3 f 12 = f 2  − f 1 x 2  − x 1 = 1 f 23 = f 3  − f 2 x 3  − x 2 = 5 f 012 = f 12  − f 01 x 2  − x 0 =  − 1 f 123 = f 23  − f 12 x 3  − x 1 = 2 f 0123 = f 123  ... zobacz całą notatkę