To tylko jedna z 16 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
ROZWIĄZANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA DLA WYBRANYCH POTENCJAŁÓW Potencjał stały. Próg potencjału. Bariera potencjału o skończonej wysokości. Studnia potencjału. Oscylator harmoniczny. POTENCJAŁ STAŁY Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne siły, czyli potencjał jest funkcją stałą - można przyjąć go za równy zeru. • Fizyka klasyczna: cząstka porusza się ruchem jednostajnym;
• Fizyka kwantowa: równanie Schrödingera:
Rozwiązanie ogólne: fala bieżąca przy czym: Rozwiązanie „praktyczne”: paczka falowa !
PRÓG POTENCJAŁU (1) Opis klasyczny: Energia całkowita cząstki: Dla : Cząstka porusza się TYLKO w obszarze x0: energia kinetyczna: Prędkość cząstki w tym obszarze: PRÓG POTENCJAŁU (2) Opis kwantowy: Dla : Równania Schrödingera dla obu obszarów:
a) dla x0
a) równanie dla cząstki swobodnej (znane) - fala biegnąca:
b) rozwiązanie podobne:
ale: jest wielkością urojoną! Więc wprowadzamy: i wtedy: PRÓG POTENCJAŁU (3) • Warunki normowania (ograniczoność funkcji): • Warunki brzegowe (ciągłości,„zszycie funkcji”):
Stąd:
[Funkcje falowe otrzymujemy mnożąc przez , oczywiście.]
• Prawdopodobieństwo , że cząstka znajdzie się w obszarze x0:
Istnieje więc skończone, choć malejące ze wzrostem odległości od progu prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w obszarze klasycznie niedozwolonym . • Z zasady nieoznaczoności Heisenberga : jeśli nieoznaczoność położenia cząstki wynosi to nieoznaczoność jej pędu:
a energii:
(…)
… przez , oczywiście.]
• Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x<0:
gdzie: (strumień padający) (strumień odbity)
PRÓG POTENCJAŁU (4)
• Współczynnik odbicia
• Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x>0:
Istnieje więc skończone, choć malejące ze wzrostem odległości od progu prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w obszarze klasycznie niedozwolonym.
• Z zasady nieoznaczoności…
…
Rozwiązania:
dla x<0:
dla x>0:
Warunki normowania: , bo brak fali odbitej w obszarze „2”.
Warunki brzegowe: jak poprzednio („zszywanie funkcji”):
PRÓG POTENCJAŁU (6)
• Współczynnik odbicia
• Współczynnik przejścia (transmisji):
Oczywiście: , co można potraktować również jako zasadę zachowania strumienia prawdopodobieństwa.
Wnioski:
skok potencjału spowodował, że - mimo, iż energia cząstki jest większa…
… jest ciągłe;
• Najmniejsza dozwolona wartość energii jest większa od zera. Wyjaśnienie leży w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga: jeśli cząstka zamknięta jest w studni o szerokości a, to niepewność jej położenia wynosi a - wtedy nieoznaczoność pędu jest równa i jest ona różna od zera, a więc różna od zera musi być wartość energii.
OSCYLATOR HARMONICZNY
Rozwiązanie klasyczne:
ruch harmoniczny z częstością…
… NIE znikają na granicy obszaru studni;
• Otrzymane wartości własne energii są w dalszym ciągu skwantowane i zależą dodatkowo od głębokości studni;
• Gdy energia cząstki jest większa od głębokości studni, energie tworzą kontinuum (dozwolona jest każda wartość energii);
STUDNIA POTENCJAŁU (ATOM WODOROPODOBNY)
• Kwantowanie energii;
• Dla dodatnich wartości energii (atom zjonizowany) widmo energetyczne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)