To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Kostki Rzucamy pięcioma kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kostka- mi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami na których do tej pory nie wypadły szóstki. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że po trzech rundach na wszystkich kostkach będą szóstki. Rozwiązanie: Zadanie rozwiążemy w myśl zasady: ”Kostkami zawsze rzucaj osobno” . Łatwo zauważyć że problem można sformułować następująco: Mamy 5 kostek. Rzucam każdą z nich jeden raz (jeśli wyrzucę 6), dwa razy (jeśli wyrzucę 6 za drugim razem) lub trzy razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że po zakończeniu rzutów otrzymano same szóstki. Wyniki na uzyskane kostkach są niezależne (!), bo czemu miałoby być inaczej? Ai - na i-tej kostce wypadła szóstka P ( Ai ) = 1 6 + 5 6 1 6 + 5 6 5 6 1 6 = 91 216 Ponieważ mamy wyżej wspomniane niezależności to: P 5 i =1 Ai = 5 i =1 P ( Ai ) = ( P ( Ai )) 5 = 91 216 5 ≈ 0 . 013 1 2 Dystrybuanty Niech F ( x, y ) będzie dystrybuantą wektora losowego ( X, Y ), a G ( u, v ) dystry- buantą wektora ( U, V ) zdefiniowanego przez U = max ( X, Y ) i V = min ( X, Y ). Wyrazić G poprzez F . Rozwiązanie: G ( u, v ) = P ( U u, V v ) = P (max( X, Y ) u, min( X, Y ) v ) = = P ( X u ∧ Y u, X v ∨ Y v ) = = P (( X u ∧ Y u ) ∧ ( X v ∨ Y v )) = = P (( X u ∧ Y u ∧ X v ) ∨ ( X u ∧ Y u ∧ Y v )) = ∗ Rozważymy tu dwa możliwe przypadki 1. Przypadek u v ∗ = P (( X u ∧ Y u ∧ X v ) ∨ ( X u ∧ Y u ∧ Y v )) = = P (( X u ∧ Y u ) ∨ ( X u ∧ Y u ) = = P ( X u ∧ Y u ) = F ( u, u ) 2. Przypadek u v ∗ = P (( X u ∧ Y u ∧ X v ) ∨ ( X u ∧ Y u ∧ Y v )) = = P (( Y u ∧ X v ) ∨ ( X u ∧ Y v )) = P ( Y u ∧ X v )+ + P ( X u ∧ Y v ) − P (( Y u ∧ X v ) ∧ ( X u ∧ Y v )) = = F ( v, u ) + F ( u, v ) − P ( X v ∧ Y v )) = = F ( v, u ) + F ( u, v ) − F ( v, v ) Oczywiście można to też wywnioskować z odpowiedniego rysunku :) 2 3 Gęstość rozkładu X 1, X 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na przedziale (0,1). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej Y := −log ( X 1 X 2) Rozwiązanie: Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej Y : FY ( t ) = P ( −log ( X 1 X 2) t ) = P ( log ( X 1 X 2) −t ) = P X 1 X 2 e −t = =
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)