To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Definiowanie
Celem definiowania jest skracanie (upraszczanie) wypowiedzi.
Przykład - ∀A ∀B A ⊆ B ⇔Df ∀x (x∈A ⇒ x∈B)
Dwa cele używania definicji:
1. definicje jako skróty notacyjne (nie mają wpływu na długość dowodów)
2. definicje jako dodatkowe aksjomaty (skracają dowody).
Warunki poprawności definicji (dla 2.?):
1. Brak błędnego koła - w definiensie nie ma terminów występujących w definiendum.
2. Nietwórczość - na ich podstawie w starym języku po wzbogaceniu nie można udowodnić żadnego twierdzenia, którego nie można udowodnić w starym języku L (tylko skrót notacyjny lub nowe pojęcie, ma zastępować formuły)
3. Efektywna eliminowalność - w każdej sytuacji musi istnieć możliwość zastąpienia zdefiniowanej konstrukcji jej definiensem, możliwość rozpisania explicite skrótu - musi istnieć algorytm tłumaczenia.
Z eliminowalności wynika nietwórczość.
Definiowanie predykatów (symboli relacyjnych)
P - n-argumentowy predykat
φ(x1, ... , xn) - formuła n-argumentowa
∀x1 ... ∀xn [P(x1, ... , xn) ⇔Df φ(x1, ... , xn)]
Warunki poprawności (kontekstowe):
1. Ani P, ani żaden symbol funkcyjny zdefiniowany za pomocą P nie występuje w φ(x).
2. W φ nie ma innych zmiennych wolnych oprócz x1, ... , xn, tzn. w P nie ma więcej zmiennych wolnych niż w φ (P nie mówi więcej, niż φ - nietwórczość).
φ - formuła opisująca
Przykład
∀x ∀y [x
(…)
… istnienia w R - nie dla każdej liczby rzeczywistej istnieje √x.
Niech U - uniwersum. Niech zmienne A, B, C przebiegają podzbiory U, a x, y, z elementy U.
1. ∀A ∀B ∀C {A ∪ B = C ⇔df ∀x [x∈C ⇔ (x∈A ∨ x∈B)]}
2. ∀A ∀B ∀C {A ∩ B = C ⇔df ∀x [x∈C ⇔ (x∈A ∧ x∈B)]}
3. ∀A ∀B ∀C {A - B = C ⇔df ∀x [x∈C ⇔ (x∈A ∧ ~ x∈B)]}
Dowodzimy istnienia i jednoznaczności.
1.
Istnienie: ∀A ∀B ∃C ∀x [x∈C ⇔ (x∈A ∨ x∈B)]
Dowód…
… tych wszystkie wyrażenia równokształtne z (x∈A ∨ x∈B) zastępujemy odpowiednio przez wyrażenia (x∈A ∧ x∈B) i (x∈A ∧ ~ x∈B).
Liczby naturalne
1. Pojęcie liczby naturalnej związane z algorytmem liczenia; wówczas 0 nie jest liczbą naturalną.
2. Pojęcie liczby naturalnej związane z porównywaniem mocy zbiorów (ustalaniem jedno-jednoznaczności); wówczas 0 jest liczbą naturalną.
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)